2. За допомогою теореми Штурма відділити дійсні корені многочлена .

Розв’язання. Складаємо поліноми Штурма:

.

Знаходимо . В якості многочлена можна взяти многочлен , тобто (нагадаємо, що при побудові многочленів Штурма їх можна, для зручності, множити на додатні числа).

Знаходимо, залишок від ділення многочлена на :

–

Звідси (Залишок потрібно брати з протилежним знаком). Аналогічно знаходимо залишок від ділення на :

–
–

Отже, .

Таким чином, система Штурма

, , , .

Визначимо знаки поліномів Штурма при та . Будуємо таблицю:

					Число змін знаків
	–	+	–	+	3
	+	+	+	+	0

Так як , то поліном має рівно три дійсних кореня.

Обчислимо величини при інших значеннях :

0	–	–	+	+	1

Так як , то один корінь додатний, а тоді два кореня від’ємні.

1	–	0	+	+	1

З того, що , робимо висновок, що на проміжку коренів немає.

2	+	+	+	+	0

Як бачимо, , тобто на проміжку многочлен має один дійсний корінь .

Так як більше додатних коренів многочлен не має, то надалі будемо розглядати від’ємні значення змінної .

– 1	+	0	–	+	2

Обчислимо , тобто проміжку належить один дійсний корінь . Залишилося відділити ще один дійсний від’ємний корінь.

– 2	–	+	–	+	3

Так як , то третій дійсний корінь многочлена належить проміжку .

Відповідь. , , .

3. Довести незвідність многочлена над полем , використовуючи критерій Ейзенштейна.

Доведення.

! Теоретичні відомості !

Незвідним над полем називається многочлен з раціональними коефіцієнтами, який не розкладається на добуток многочленів ненульового степеня з раціональними коефіцієнтами.

! Теоретичні відомості !

Критерій незвідності Ейзенштейна. Нехай задано многочлен . Якщо існує просте число таке, що та , то поліном є незвідним над полем .

Для заданого многочлена існує таке просте число , що , а . Отже, згідно критерію Ензенштейна, многочлен є незвідним над полем .