- •Завдання Контрольна робота № 1 «Комплексні числа»
- •Контрольна робота № 2 «Цілі числа. Числові функції»
- •Контрольна робота № 3 «Порівняння»
- •Розв’язання типового варіанта
- •1. Комплексне число представити в тригонометричній і показниковій формах.
- •2. Комплексне число представити у вигляді . Навести геометричну інтерпретацію.
- •3. Знайти множину точок на площині комплексного змінного , яка визначається наступними умовами (графічно).
- •4. Скласти квадратне рівняння, яке має корені . Розв’язати його.
- •5. Записати дану тригонометричну функцію
- •1. Для чисел та :
- •2. Для числа знайти значення функції Ейлера від , суму й число усіх натуральних дільників.
- •1. З’ясувати, чи є система залишків за модулем повною. Побудувати приведену систему залишків за цим модулем.
- •2. Перевірити, чи має порівняння першого степеня розв’язки. У разі позитивної відповіді розв’язати порівняння методом випробування повної системи залишків.
- •3. Методом алгебраїчних перетворень знайти розв’язки порівняння першого степеня .
- •4. Знайти останню цифру числа .
- •5. Використовуючи метод Ейлера знайти розв’язок порівняння першого степеня .
- •6. Розв’язати систему порівнянь першого степеня за допомогою китайської теореми про залишки та за допомогою алгебраїчних перетворень.
- •1. Обчислити символ Лежандра .
- •2. Перевірити, чи має розв’язок порівняння .
- •3. Перевірити, чи є число 3 первісним коренем за модулем 7. У разі позитивної відповіді побудувати таблицю індексів за даним модулем.
- •4. За допомогою індексів розв’язати порівняння
- •1. Перетворити у ланцюговий дріб число . Знайти підхідний дріб .
- •2. За даним скінченним ланцюговим дробом знайти відповідний звичайний нескоротній дріб і всі його підхідні дроби.
- •3. Записати нескінчений періодичний дріб у вигляді квадратичної ірраціональності.
- •4. Розв’язати порівняння першого степеня за допомогою ланцюгових дробів.
- •1. Використовуючи схему Горнера, обчислити та розкласти многочлен за степенями , якщо .
- •2. Визначити всі раціональні корені многочлена .
- •3. Використовуючи метод Кардана, розв’язати кубічне рівняння .
- •4. Методом Феррарі знайти розв’язки рівняння четвертого степеня .
- •1. Відділити кратні корені многочлена .
- •2. За допомогою теореми Штурма відділити дійсні корені многочлена .
- •3. Довести незвідність многочлена над полем , використовуючи критерій Ейзенштейна.
- •4. Симетричний многочлен від трьох змінних виразити через елементарні.
- •5. Знайти значення виразу , де – корені многочлена .
- •Література
1. З’ясувати, чи є система залишків за модулем повною. Побудувати приведену систему залишків за цим модулем.
Розв’язання.
! Теоретичні відомості !
Повна система залишків за модулем – це набір з цілих чисел, які мають попарно різні остачі при діленні на .
Замінимо кожне з чисел заданої системи на його залишок за модулем , матимемо систему . Оскільки є числа, які зустрічаються більше ніж один раз, то ця система не є повною системою залишків за модулем 9.
! Теоретичні відомості !
Приведена система залишків за модулем – це набір з цілих чисел, які мають попарно різні остачі при діленні на і є взаємно простими з .
Повну систему залишків за модулем складають, наприклад, числа . Залишимо із них лише ті, які є взаємно простими з . Отримаємо множину , яка і є приведеною системою залишків.
Відповідь. Задана система не є повною. Приведена система залишків .
2. Перевірити, чи має порівняння першого степеня розв’язки. У разі позитивної відповіді розв’язати порівняння методом випробування повної системи залишків.
Розв’язання.
! Теоретичні відомості !
Розглянемо порівняння та позначимо .
Якщо , то порівняння не має розв’язків.
Якщо , то порівняння має розв’язків. В цьому разі задане порівняння еквівалентне порівнянню .
Важливий частинний випадок: якщо , то порівняння має один розв’язок.
У нашому випадку для порівняння маємо, що , , . З того, що , робимо висновок, що порівняння має один клас розв’язків.
! Теоретичні відомості !
Два числа та називаються порівнянними за модулем , якщо їх різниця ділиться націло на :
.
Якщо
Випишемо повну систему залишків, наприклад, . Підставляємо ці значення безпосередньо у порівняння:
,
,
,
,
,
,
,
.
Оскільки порівняння має один клас розв’язків та є розв’язком заданого порівняння, то інших розв’язків немає, і випробування можна перервати.
Відповідь. .
3. Методом алгебраїчних перетворень знайти розв’язки порівняння першого степеня .
Розв’язання. У прикладі 2 було показано, що дане порівняння має один клас розв’язків.
! Теоретичні відомості !
Якщо , та , то обидві частини порівняння можна скорочувати на .
.
Після скорочення на – 4, маємо:
.
Відповідь. .
4. Знайти останню цифру числа .
Розв’язання. Остання цифра заданого числа співпадає з залишком від ділення цього числа на 10. Тобто нам потрібно знайти таке число , що має місце порівняння:
! Теоретичні відомості !
Теорема Ейлера. Якщо , то має місце співвідношення
.
! Теоретичні відомості !
Натуральне число називається простим, якщо воно має рівно два натуральних дільника: одиницю та саме це число.
! Теоретичні відомості !
Мала теорема Ферма. Якщо – просте число, , то
.
Оскільки 10 є складеним числом, то застосуємо теорему Ейлера:
.
Обчислимо функцію Ейлера від 10:
.
Отже,
.
Скористаємося тим, що , тоді
.
Таким чином, остання цифра дорівнює трійці.
Відповідь. 3.