12. Теорема Лагранжа.

ТЕОР1: Пусть на [a, b] определена функция f(x), причем:

1. f(x) непрерывна на [a, b];

2. f(x) дифференцируема на (a, b).

Тогда существует точка C(a, b) такая, что справедлива формула (f(b) – f(a))/(b – a) = f ’(c).

Док-во: Введем в рассмотрение вспомогательную функцию на [a, b].

F (x) = f(x) – f(a) – (f(b) – f(a)) (x – a).

(b – a)

Функция F(x) удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля:

1. F(x) непрерывна на [a, b] (как разность непрерывных функций f(x) и линейной функции

f (a) + (f(b) – f(a)) (x – a));

(b – a)

2. F(x) дифференцируема на (a, b), т. е. внутри [a, b] имеет производную, равную

F’(x) = f ’(x) - f(b) – f(a);

(b – a)

3. F(a) =0 и F(b) =0, т. е. F(b) = F(a).

 (По Т Р) Существует точка C(a, b) такая, что F’(c) =0, т. е. f ’(x) - f(b) – f(a) =0. Отсюда получаем

(b – a)

f ’(c) = f(b) – f(a).

( b – a)

Геометрический смысл: На кривой, являющейся графиком функции Y=f(x), удовлетворяющей условиям теоремы Лагранжа, существует точка (по крайней мере, одна), в которой касательная параллельна хорде АВ.

12. Теорема Коши.

ТЕОР: Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на [a, b] и дифференцируемы на (a, b). Пусть, кроме того, g’(x)  0. Тогда существует точка C(a, b) такая, что справедлива формула

f(b) – f(a) = f ’(c) .

g (b) – g(a) g’(c)

Док-во: Докажем сначала, что g(b) – g(a)  0, т. е., что формула имеет смысл. Действительно, если допустить, что g(b) = g(a), то (по Т Р) для функции g(x)  точка (a,

b), в которой g’()=0.А это противоречит условию, что g’(x)  0 на (a, b).

Докажем формулу. Рассмотрим на [a, b] вспомогательную функцию

F(x) = f(x) – f(a) – (f(b) – f(a)) (g(x) – g(a)) .

g (b) – g(a)

Нетрудно заметить, что на удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1. F(x) непрерывна на [a, b];

2. дифференцируема на (a, b), кроме того, F(b) = 0 и F(a) = 0, т. е. F(a) = F(b)  (по Т Р) для функции F(x)  точка C, a<C<b, такая, что F’(c) = 0.

Так как F’(x) = f ’(x) – (f(b) – f(a))  g ’(x) , то F’(c) = f ’(c) - (f(b) – f(a))  g ’(c) .

g(b) – g(a) g(b) – g(a)

Учитывая, что g’(x)  0, получаем формулу f(b) – f(a) = f ’(c) .

g(b) – g(a) g’(c)

12. Условие монотонности функции на интервале.

ОПР1: Говорят, что функция f(x) не убывающая на промежутке (a, b), если для X1, X2(a, b), X1<X2 выполняется условие f(X1) f(X2).

ОПР2: Говорят, что функция f(x) не возрастающая на промежутке (a, b), если для X1, X2(a, b), X1<X2 выполняется условие f(X1) f(X2).

ОПР3: Говорят, что функция f(x) возрастающая на промежутке (a, b), если для X1, X2(a, b), X1<X2 выполняется условие f(X1)<f(X2).

ОПР4: Говорят, что функция f(x) убывающая на промежутке (a, b), если для X1, X2(a, b), X1<X2 выполняется условие f(X1)>f(X2).

ТЕОР1: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на интервале (a, b), не убывала (не возрастала) необходимо и достаточно, чтобы для x(a, b) выполнялось условие f ’(x) 0 (f ’(x) 0).

Док-во: Докажем для f ’(x) 0. Пусть X1 и X2 две  точки (a, b) и X1<X2; тогда на отрезке [X1, X2] выполняются все условия теоремы Лагранжа, и  выполняется условие f(X2) – f(X1) = f ’(c)  (X2 - X1), где C( X1, X2). По условию, f ’(C) 0, X2 - X1>0, поэтому f(X2) – f(X1) 0 или f(X2)  f(X1), т. е. функция f(x) не убывает на (a, b). (Случай f ’(x) 0 аналогично)

ТЕОР2: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на интервале (a, b), убывала (возрастала) достаточно, чтобы для x(a, b) выполнялось условие f ’(x) <0 (f ’(x) >0).

Док-во: Докажем для f ’(x) >0. Пусть X1 и X2 две  точки (a, b) и X1<X2; тогда на отрезке [X1, X2] выполняются все условия теоремы Лагранжа, и  выполняется условие f(X2) – f(X1) = f ’(c)  (X2 - X1), где C( X1, X2). По условию, f ’(C) >0, X2 - X1>0, поэтому f(X2) – f(X1) >0 или f(X2) > f(X1), т. е. функция f(x) не убывает на (a, b). (Случай f ’(x) <0 аналогично)