8. Понятие сходящейся последовательности. Предел последовательности.

ОПР1: Число А – предел последовательности {Xn}, если для любого числа >0, каким бы малым оно не было, существует номер N, зависящий от , такой, что при всех n>N выполняется неравенство |Xn-A|< .

А=limXn (>0)(N=N ())(n>N):|Xn-A|<

n

ОПР3: Последовательность, имеющая предел – сходящаяся последовательность.

ОПР4: Если последовательность не является сходящейся, то не существует и ее предела или он бесконечен –последовательность расходящаяся.

ЗАМ: пусть предел последовательности {Xn} равен А, тогда последовательность {n} ={Xn-A} – бесконечно малая.

Верно и обратное: если последовательность {Xn-A} – бесконечно малая, то ее предел равен А.

Если предел последовательности n равен 0, n –последовательность бесконечно малая.

Предел бесконечно большой последовательности равен бесконечности.

8. Основные свойства сходящихся последовательностей.

ЛЕММА: Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному числу С, то С=0.

Док-во: Пп: С. Пусть =|С|/2>0. Тогда по определению бесконечно малой последовательности для любого   =|C|/2 существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство |n|<. Т. е. |C|<|C|/2  1<1/2  Пп: С - неверно  С=0.

ТЕОР1: О единственности предела сходящейся последовательности.

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Док-во: Пп: т. е. что числа A и B – пределы сходящейся последовательности {Xn} и AB. Тогда получим Xn=A+n и Xn = B+n, где {n} и {n} – бесконечно малые последовательности. Получим из последних двух равенств, что n - n=B – A. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {n - n} равны одному числу B – A, то по лемме B – A=0, т. е. В=А.

ТЕОР2: Об ограниченности сходящейся последовательности.

Сходящаяся последовательность – ограничена.

Док-во: Пусть {Xn} – сходящаяся последовательность и ее предел равен А. Пусть >0 и N – номер, начиная с которого выполняется неравенство |Xn – A|<. Тогда |Xn|=|(Xn – A)+A||Xn – A|+|A|<|A|+ для n>N. Выберем A=max{|A|+, |X1|, |X2|, K|Xn|}. Очевидно, |Xn|A для n, что означает ограниченность последовательности {Xn}.

ТЕОР3: Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей {Xn} и {Yn} есть также сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей {Xn} и {Yn}, lim(Xn  Yn) = limXn  limYn.

n n n

Док-во: Пусть А и В - пределы последовательностей {Xn} и {Yn}. По формуле Xn = A+n, Yn=B+n, где {n}, {n} – бесконечно малые последовательности.  (Xn  Yn) = (A+n) (B+n), (Xn  Yn) - (A  B) = n  n. Последовательность {Xn  Yn} – бесконечно малая. Т. о., последовательность {(Xn  Yn) - (A  B)} тоже бесконечно малая  последовательность {(Xn  Yn)} сходится и имеет предел равный A  B.

ТЕОР4: Произведение сходящихся последовательностей {Xn} и {Yn} – есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {Xn} и {Yn}, lim(Xn*Yn)=limXn*limYn.

n n n

Док-во: Пусть А и В - пределы последовательностей {Xn} и {Yn}. По формуле Xn = A+n, Yn=B+n, где {n}, {n} – бесконечно малые последовательности.  XnYn - AB = An +Bn +n n. Последовательность {An +Bn +n n} - бесконечно малая.  {XnYn - AB} - тоже бесконечно малая последовательность  {XnYn} сходится и имеет предел равный AB.

ТЕОР5: Частное двух сходящихся последовательностей {Xn} и {Yn}, при условии, что limYn0

n

• есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов {Xn} и {Yn}.

Док-во: Пусть А и В (В) - пределы последовательностей {Xn} и {Yn}. По формуле Xn = A+n, Yn=B+n, где {n}, {n} – бесконечно малые последовательности. 

- = = = (n - n).

Последовательность {n - n} – бесконечно малая.

Так как предел последовательности Yn равен В, то для =|B|/2 найдется номер N , что n>N выполняется неравенство |Yn|=|B-(B-Yn)||B|-|Yn-B|>|B|-|B|/2=|B|/2, т. е. |Yn|>|B|/2.  |1/Yn|<2/|B| для n>N. Выберем A=max{2/|B|, |Y1|, |Y2|, K|Yn|}. Очевидно, что |1/Yn|A для n  последовательность {1/Yn} – ограничена.  {1/Yn(n – A/B)} – последовательность бесконечно малая  последовательность {Xn/Yn – A/B} – бесконечно малая.  последовательность {Xn/Yn} сходится и имеет предел А/В. Так как предел последовательности {Yn} не равен 0, то элементы Yn, начиная с номера N, не обращаются в 0  частное {Xn/Yn} определено для n>N.