12. Определение непрерывной функции в точке, на отрезке. Определение кусочно-непрерывной функции.

ОПР1: Функция f(x) называется непрерывной в точке А, если lim f(x) =f(A).

хА

ЗАМ: Если f(x) непрерывна в точке А, то она определена и существует в точке А.

Если lim x =A, то lim f(x) = f(A) = f(lim x).

хА хА хА

ОПР2: (Г) Функция f(x) называется непрерывной в точке А, если для любой последовательности значений аргумента {Xn} сходящейся к А соответствующая последовательность значений функции {F(Xn)} сходится к числу F(A). ({Xn}A, XnX): {F(Xn)}F(A)

ОПР3: (К) Функция f(x) называется непрерывной в точке А, если для любого   найдется отвечающее ему положительное число  такое, такое для всех х, удовлетворяющих условию

|x - A| ,выполняется неравенство |f(x) – f(A)|<.

( >0)(x:|x – A|<:|f(x) – f(A)|<

ОПР4: Приращение функции в точке А – f = f(x) – f(a), приращение аргумента - х = х – а

ОПР5: Функция f(x) называется непрерывной в точке А, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при х0, lim y = 0.

х0

ОПР6: Если lim f(x) = f(А), то функция f(x) непрерывна в точке А справа.

хА+

ОПР7: Если lim f(x) = f(А), то функция f(x) непрерывна в точке А слева.

хА -

ТЕОР1: Функция f(x) непрерывна в точке А, если она непрерывна в точке А справа и слева.

ОПР8: Функция называется кусочно-непрерывной на сегменте [A, B], если она непрерывна во всех внутренних точках сегмента за исключением конечного числа точек, в которых имеет разрыв I рода и, кроме того, существуют односторонние пределы в точках А и В.

ОПР9: Функция называется непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке этой прямой.

12. Теорема о сумме, произведении, частном непрерывных функций.

ТЕОР2: Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке А. Тогда функции f(x)  g(x), f(x)  g(x), f(x) g(x) (при g(A)0) также непрерывны в этой точке.

Док-во: Так как функции f(x) и g(x) непрерывны в точке А, то lim f(x)=f(A) и lim g(x)=g(A) при хА. Тогда пределы функций f(x)  g(x), f(x)  g(x), f(x) g(x) существуют и равны f(А)  g(А), f(А)  g(А), f(А) g(А) (при g(A)0). Но эти величины равны значениям функций в точке А. f(x)  g(x), f(x)  g(x), f(x) g(x) непрерывны в точке А.

12. Точки разрыва функции.

ОПР1: Точка А называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в этой точке не является непрерывной функцией.

ОПР2: Классификация разрывов:

1. Точки устранимого разрыва.

2. Точки разрыва I рода.

3. Точки разрыва II рода.

ОПР3: Точка А – точка устранимого разрыва, если предел функции в этой точке существует, но функция в этой точке неопределена; либо предел функции в этой точке не равен значению функции в этой точке.

ОПР4: Точка А – точка разрыва I рода, если в этой точке функция имеет конечный правый предел, конечный левый предел, но они не равны между собой.

ОПР5: Точка А – точка разрыва II рода, если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из пределов (правого или левого) или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

12. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.

ТЕОР1: Пусть функция f(x) задана на множестве Х непрерывна в точке Х0Х и f(x)0. Тогда существует положительное число  такое, что для всех х(Х0 - , Х0+)Х функция имеет тот же знак, что и f(X0).

Док-во: Пусть f(X0)>0. Так как функция непрерывна, то для () () такое, что для (хХ: |X0-x|) выполняется неравенство |f(x) – f(X0)|<. Последнее неравенство в виде f(X0) - <f(x)<f(X0)+, оно выполняется для х(Х0 - , Х0 + ). Возьмем =f(X0)>0, тогда для х(Х0 - , Х0 + ) f(x)>0.

Если f(X0)<0, то рассмотрим функцию –f(x). Тогда –f(X0)>0 и существует  - окрестность точки Х0, в которой –f(x)>0.  f(x)<0.