8. Предельный переход в неравенствах.

ТЕОР1: Если элементы сходящейся последовательности {Xn} начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству XnB (XnB), то и предел А этой последовательности удовлетворяет неравенству AB (AB).

Док-во: Пусть все элементы {Xn} начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству XnB. Докажем, что АВ. Пп: что A<B. Так как предел Xn равен А, то для =В-А0 существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство |Xn – A| < B – A. Оно равносильно неравенству -B + A < Xn – A < B – A. Из правого неравенства получаем: Xn<B при n>N, что противоречит условию.  АВ.

СЛЕД1: Если элементы сходящихся последовательностей {Xn} и {Yn} начиная с номера, удовлетворяют неравенству XnYn (XnYn), то limXn limYn (limXnlimYn).

n n n n

СЛЕД2: Если все элементы сходящейся последовательности {Xn} находятся на отрезке [A,B], то предел последовательности - число С[A,B].

ТЕОР2: О трех последовательностях

Даны три последовательности {Xn}, {Yn} и {Zn}, причем для любого элемента последовательности выполняется неравенство XnYnZn, кроме того limXn=limZn=A, тогда limYn=А.

n n n

Док-во: Выберем , так как limXn= A, то () (N1) (n>N1): |Xn – A|<. А так как limZn=A, то () (N2) (n>N2): |Zn – A|<.

N=max{N1,N2}, то (n>N): |Xn – A|< и |Zn – A|<.

A - <Xn<A+ и A - <Zn<A+  n: XnYnZn  A - <XnYnZn <A+  A - <Yn<A+  |Yn – A|<  () (N=max{N1,N2}) (n>N): |Yn – A|<  limYn=А.

11. Монотонные последовательности.

ОПР1: Последовательность {Xn} – возрастающая, если для любого члена последовательности выполняется неравенство Xn<Xn+1.

ОПР2: Последовательность {Xn} – невозрастающая, если для любого члена последовательности выполняется неравенство XnXn+1.

ОПР3: Последовательность {Xn} – неубывающая, если для любого члена последовательности выполняется неравенство XnXn+1.

ОПР4: Последовательность {Xn} – убывающая, если для любого члена последовательности выполняется неравенство Xn>Xn+1.

ОПР5: Все монотонные последовательности ограничены хотя бы с одной стороны.

ТЕОР1: О сходимости монотонной последовательности.

Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Любая неубывающая последовательность, ограниченная сверху, - сходящаяся.

Любая невозрстающая последовательность, ограниченная снизу, - сходящаяся.

Док-во: (для неубывающей) Для XnXn+1 для n. Так как последовательность ограничена, то существует число А такое, что выполняется неравенство XnА для n. Рассмотрим множество Х, состоящее из элементов последовательности {Xn}. По условию это множество ограничено сверху и не пусто.  Множество Х имеет точную верхнюю грань. Обозначим ее через А и докажем, что А – предел {Xn}.

Так как А – точная верхняя грань множества Х, то для  найдется номер N такой, что XN >A - . Так как последовательность {Xn} неубывающая, то при n>N имеем Xn>A - . С другой стороны, XnA<A+ для n. Т. о., при n>N получаем неравенство A - <Xn<A+, т. е. |Xn – A|<  при n>N.  А – предел последовательности {Xn}.

ЗАМ: ограниченность монотонной последовательности является необходимым и достаточным условием сходящейся последовательности.