- •Множества. Операции над множествами.
- •Множество вещественных чисел. Свойства вещественных чисел.
- •Грани числовых множеств. Свойство точной грани.
- •Теорема о существовании точной верхней и точной нижней граней.
- •Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей. Действия над ними.
- •Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности: определение, свойства, связь между ними.
- •Понятие сходящейся последовательности. Предел последовательности.
- •Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах.
- •Монотонные последовательности.
- •Число е.
- •Теорема о вложенных промежутках.
- •Понятие функции и способы ее задания.
- •Едел функции в точке.
- •Теорема о пределах функции.
- •I замечательный предел.
- •II замечательный предел.
- •Бесконечно малые функции. Действия над ними.
- •Бесконечно большие функции. Связь с бесконечно малыми.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно больших функций.
- •Определение непрерывной функции в точке, на отрезке. Определение кусочно-непрерывной функции.
- •Теорема о сумме, произведении, частном непрерывных функций.
- •I теорема Больцано – Коши.
- •II теорема Больцано – Коши.
- •I теорема Вейерштрасса.
- •II теорема Вейерштрасса.
- •Теорема о непрерывной сложной функции.
- •Теорема о непрерывной обратной функции.
- •Понятие производной.
- •Геометрический смысл производной.
- •Понятие дифференцируемости функции.
- •Непрерывность и дифференцируемость функции.
- •Понятие дифференциала. Геометрический смысл.
- •Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.
- •Производные элементарных функций.
- •Теорема о производной обратной функции.
- •Производные обратных функций.
- •Теорема о производной сложной функции.
- •Производные высших порядков.
- •Дифференциалы высших порядков.
- •Возрастание, убывание функции в точке. Достаточное условие возрастания, убывания функции в точке.
- •Понятие локального экстремума. Необходимое условие локального экстремума.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Лагранжа.
- •Теорема Коши.
- •Условие монотонности функции на интервале.
- •Стационарные точки. I достаточное условие экстремума.
- •Достаточное условие экстремума.
- •Направление выпуклости функции.
- •Точки перегиба графика функции. Необходимое условие точки перегиба.
- •Достаточное условие точки перегиба.
- •Асимптоты графика функции: вертикальная, горизонтальная, наклонная. Геометрический смысл наклонной асимптоты.
- •Понятие первообразной. Теорема и лемма о первообразной.
- •Понятие неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
- •Основные свойства неопределенного интеграла.
- •Метод замены переменных.
- •Интегрирование по частям.
- •Основные типы интегралов, берущихся по частям.
Понятие первообразной. Теорема и лемма о первообразной.
ОПР1: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если для любого x из этого промежутка выполняется условие F’(x)=f(x).
ЛЕММА: Функция, производная которой на промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежутке.
Док-во: Пусть для xX f ’(x)=0, тогда для X1, X2X, X1<X2 выполняется формула конечных приращений Лагранжа. (f ’(x)=0 - непрерывна, дифференцирована) f(X2) – f(X1) = f ’()(X2 – X1), ( X1, X2), f ’() =0 f(X1) = f(X2) f(x) = C.
ТЕОР: Если F(x) – первообразная для f(x), на промежутке X, то любая другая первообразная этой функции на промежутке X представлена в виде F(x) +C, где C – произвольная постоянная.
Док-во: Пусть F(x) – первообразная для f(x) на X (xX) F’(x) = f(x). Пусть функция (x) – первообразная для f(x) (xX) ’(x) = f(x). Рассмотрим разность
((x) – F(x))’ = ’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 ((x) – F(x))’ = 0 на X для xX эта функция является постоянной (x) = F(x) + C, где C – произвольная постоянная.
Понятие неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
ОПР1: Если функция F(x) – первообразная для f(x) на промежутке X, то множество функций F(x) + C, где C - произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на промежутке X и обозначается f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольная постоянная, при этом f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение, x - переменная интегрирования. Это множество исчерпывает семейство первообразных. Для всякой функции f(x) непрерывной на промежутке Xсуществует первообразная существует и неопределенный интеграл.
ОПР2: Восстановление функции по ее производной или отыскивание неопределенного интеграла – интегрирование функции. Интегрирование – операция обратная операции дифференцирования. Для того, чтобы проверить правильность интегрирования надо продифференцировать результат.
x dx = (x /(+1)) + C, 1
dx/x = ln|x| + C
0 dx = C
dx = x + C
cosX dx = sinX + C
sinX dx = -cosX + C
dx/cos X = tgX + C
dx/sin X = -ctgX + C
a dx = a /ln a + C
e dx = e + C
dx/(1+x ) = arctgX +C
-arcctgX + C
dx/(1+x ) = arcsinX + C
-arccosX + C
dx/(x +a ) = 1/a arctg(X/a) + C
dx/(a - x ) = arcsin(X/a) + C
dx/(x k) = ln|x + (x k)| + C
dx/(x - a ) = 1/2a ln|(x – a)/(x + a)| + C
Основные свойства неопределенного интеграла.
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
( f(x)dx)’ = f (x)
Док-во: ( f(x)dx)’ = (F(x) + C)’ = F’(x) + 0 = f(x)
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.
d( f(x)dx) = f(x)dx
Док-во: d( f(x)dx) = d(F(x) + C) = (F(x) + C)dx = F’(x)dx = f(x)dx
Неопределенный интеграл от дифференциала этой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной.
d(F(x)) = F(x) + C
Док-во: dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx; dF(x) = f(x)dx = F(x) + C
Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла.
kf(x)dx = k f(x)dx
Док-во: Пусть F’(x) = f(x), тогда функция kF(x) – первообразная для kf(x) (kF(x))’ = k(F’(x)) = kf(x) kf(x)dx = kF(x) + C1 = k(F(x) + C1/k) = k(F(x) + C) = k f(x)dx при C = C1/k.
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций.
(f(x) g(x))dx = f(x)dx g(x)dx
Док-во: F(x) - первообразная для f(x), G(x) – первообразная для g(x) F’(x) = f(x) и G’(x) = g(x). Тогда F’(x) G’(x) – первообразная для f(x) g(x). (F(x) G(x))’ = F’(x) G’(x) = f(x) g(x)
f(x)dx g(x)dx = (F(x) + C1) (G(x) + C2) = (f(x) g(x))dx
ЗАМ: свойства справедливы для конечного числа функций.