31. Формулы виета. Кратные корни.

Формулы Виета дают связь между коэффициентами многочлена и его корнями (для приведенного уравнения, т.е. такого уравнения, у которого старший коэффициент равен единице).

Рассмотрим многочлен:

f(x)=xⁿ + a₁ x^n-1 +…+a_n .

Пусть a₁,…,a_n P — коэффициенты многочлена, — его корни.

f(x) = (x-α₁)(x-α₂)…(x-α_n).

Чтобы получить x^n-1 из каждой скобки надо взять x, за исключением одной скобки, из которой взят а_i, чтобы получить x^n-2 надо взять x из всех скобок, за исключением двух и т.д. Получим

a₁ = ( α₁+α ₂+…+ α_n )

a₂ = α₁α₂+…+ (1)

…

a_n = (-1)ⁿα₁ …α_n

Если мы домножим каждое равенство из (1) на (-1) в степени, равной индексу а_i, то мы получим привычные нам формулы Виетта.

-a₁ = α₁+α₂+…+α_n

a₂ = α₁α₂ +…+ (2)

……………..

(-1)ⁿ a_n = α₁… α_n

Кратные корни.

Пусть для f(x) = (x-α)^k f1 (x) ; f1 (α)≠0, т.е.  — корень кратности k.

Теорема 1. Если α — корень кратности k для многочлена, то α — корень кратности k-1 для его производной.

32-34.

БИНАРНАЯ АГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ. НЕЙТРАЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ. АССОЦИАТИВНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ. СИММЕТРИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ.

Пусть Х не пустое множество, X² — скалярный квадрат множества X, т.е. X²={(a,b)| a,bX}.

Определение 1. Отображение f:X²X называется бинарной алгебраической операцией (БАО), то есть каждой паре элементов (a,b) множества X ставится в соответствие элемент сX.

Элемент c называется композицией элементов a и b, обычно записывают c=ab (где  — обозначение кокой-то бинарной алгебраической операции).

Примеры:

1) Вкачестве множества X возьмем N — натуральные числа, в качестве операции +:

(a,b)a+b — отображение и

c=a+b — сумма.

2) Множество матриц над полем P с операциями +, *.

Если X — конечное множество, например X={x₁, x₂,  ,x_n}, то алгебраическую операцию удобно задавать таблицей:

	x1 x2 x3 … xn
x1
x2 x3 … xn

В клетке этой таблицы, расположенной на пересечении строки, проходящей через элемент ak, и столбца, проходящего через элемент al, следует записать композицию элементов ak и al.

Часто алгебраическую операцию называют внутренним законом композиции.

Определение 2. Пусть заданы множество X с бинарной алгебраической операцией , и любое его непустое подмножество X₁. Если a,bX₁ ab тоже принадлежит X₁ ,то множество X₁ называют устойчивым относительно данной бинарной алгебраической операции, а саму бинарную алгебраическую операцию на X₁ называют индуцированной.

Определение 3. Пусть на множестве Х задана бинарная алгебраическая операция  (дальше для краткости просто операция ). Элемент hХ называется нейтральным относительно операции , если xh=hx=x xX.

Примеры.

1) В операции умножения на множестве целых чисел Z роль нейтрального элемента играет 1.

2) На множестве 2Z нет нейтрального элемента относительно умнажения.

Теорема 1.Относительно любой алгебраической операции существует не более одного нейтрального элемента.

Доказательство (от противного). Пусть m и n нейтральные элементы относительно операции  на X, причем mn. Тогда по определению нейтрального элемента:

 m=n.

Определение 4. Алгебраическая оперция , заданная на множестве X, называется ассоциативной, если a,b,cX выполняется: (ab) c=a(bc).

Теорема 2. Пусть на множестве Х задана ассоциативная операция , тогда:

(a₁…a_i) (a_i+1…a_n )= a₁…a_n

Доказательство индукцией (по числу элементов во второй скобке):

1) Если n – i=1, то равенство верно по определению.

2) Если n  i=k, то будем считать утверждение верным.

3) Докажем верность для n  i=k+1.

(a₁…a_i)(a_i+1…a_n )= (a₁…a_i)((a_i+1…a_n1 ) a_n ) так как операция  ассоциативна, то по-другому расставим скобки и воспользуемся индуктивным предположением

(a₁…a_i)((a_i+1…a_n1 )a_n )= =((a₁…a_i)(a_i+1…a_n1 )) a_n = a₁…a_n .

Следствие. Пусть на множестве Х задана ассоциативная операция . Тогда композиция конечного числа элементов множества Х не зависит от распределения скобок, указывающих на порядок производимых действий.

Определение 5. Пусть на множестве Х задана операция , n – нейтральный элемент и x,y —некоторые элементы из множества Х. Элемент y называется симметричным элементу x относительно операции , если xy=yx=n. Если для элемента x есть симметричный, то он называется симметризуемым.

Примеры:

1) На множестве целых чисел, операция +, n=0, симметричный элемент элементу a — противоположный -a.

2) Множество матриц над полем P_n, E — единичная матрица (нейтральный элемент при умножении). Симметричный элемент существует тогда, когда матрица обратима, т.е ее определитель не равен нулю.

Теорема 3. Пусть на множестве X задана ассоциативная операция  и n — нейтральный элемент. Тогда xX существует не более одного симетричного элемента.

Докозательство (от противного).

Пусть для некоторого элемента x существует несколько симметричных элементов, например: y,z. Тогда рассмотрим композицию: yxz=y(xz)=yn=y, с другой стороны yxz=(yx)z)=nz=z  y=z.

Симметричный для x обозначим через x'.

Теорема 4. Пусть на множестве X задана ассоциативная операция °. Элементы x,yX — симметризуемы, тогда элемент xy также симметризуем и симметричный для него (xy)'= y' x'.

Доказательство. Рассмотрим композицию: (xy)( y' x')=x(yy') x'=xx'=n, где n – нейтральный элемент. Аналогично (y'x')  (xy)=n.

Определение 6. Операция  называется коммутативной, если xy=yx x,yX.

35-36.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ, ВАЖНЫЕ ПРИМЕРЫ И СВОЙСТВА ГРУПП

Определение1. Пусть Г не пустое множество элементов произвольной природы. Г называется группой, если выполняются следующие условия:

1) На множестве Г задана операция .

2) Операция  ассоциативна.

3) Существует нейтральный элемент nГ.

4) Для любого элемента из Г симметричный ему элемент всегда существует и принадлежит также Г.

Пример.

Множество Z – чисел с операцией +.

Определение 2.

Группа называется абелевой, если она коммутативна относительно заданной операции .

Важные примеры групп

1) GL(n,P) — полная линейная группа над полем P степени n. Рассмотрим множество матриц порядка n над некоторым полем P, определитель которых отличен от нуля: GL(n,P)={A  P_n , }. Проверим, что это группа:

1. Операция  задана, ибо произведение невырожденных матриц — невырожденная матрица;

2. Операция  ассоциативна, ибо произведение матриц ассоциативно;

3. Существует нейтральный элемент — единичная матрица;

4. Обратная матрица существует и принадлежит GL(n,P), а это и есть симметричный элемент.

2) SL(n,P)={AP_n , =1} — специальная линейная группа степени n над полем. Это множество матриц над полем P порядка n, с определителем равным 1.

1. Операция  задана, ибо  = ;

2. Операция  ассоциативна;

3. Существует нейтральный элемент — единичная матрица, ибо E=1;

4. Существует элемент симметричный — обратная матрица, так как определитель не равен нулю, и она принадлежит SL(n,P).

3) S(X) — симметричная группа на множестве X, где X — не пустое множество, S(X) — множество биективных отображений из X в X. Тождественное отображение принадлежит , следовательно, S(X) 

1. Операция  задана, ибо произведение биективных отображений — биективное отображение;

2. Операция  ассоциативна, ибо произведение отображений ассоциативно;

3. Существует нейтральный элемент e_x (тождественное отображение на X);

4. Существует обратное отображение, для любого биективного отображения и оно принадлежит S(X).

Если X — конечное множество и состоит из n элементов =n, то в этом случае S(X) обозначается S_n , так как природа элементов не существенна, то полагаем Х={1,…,n}.

4) Рассмотрим множество четных подстановок A_n на множестве из n элементов. A_n , ибо тождественное отображение принадлежит A_n.

1. Операция  задана (произведение четных подстановок— четная подстановка);

2. Операция  – ассоциативна;

3. Тождественная подстановка играет роль единицы;

4. Для любой подстановки из A_n существует обратная подстановка (она тоже четная).

A_n — знакопеременная группа степени n.

Простейшие свойства групп

В группе существует единственный нейтральный элемент

В группе для каждого элемента существует единственный симметричный ему элемент

Пусть Г — группа с операцией , тогда уравнения вида :

ax=b и xa=b (1) — разрешимы и имеют единственное решение.

Доказательство. Рассмотрим уравнения (1) относительно x. Очевидно, что для а  а'. Так как операция  — ассоциативна, то очевидно x=ba' — единственное решение.