14. Свойства определителя (все).

3) Определитель матрицы с нулевой строкой равен 0.

4) Определитель матрицы, содержащий две равные строки, равен 0.

5) Постоянный множитель всех элементов какой-нибудь строки определителя можно выносить за знак определителя.

6) Определитель матрицы, содержащей две пропорциональные строки,

равен 0.

7)

d = = +

|| ||

d₁ d₂

где a_ik=b_ik+c_ik , где к = 1, ... , n.

Определитель матрицы d, у которой i-тая строка представлена в виде

a_ik =b_ik+c_ik , где к = 1, … , n, равен сумме определителей d₁ и d₂ , которые

отличны от d i - той строкой, а именно, у d₁ i–тая строка b_ik , k=1,…,n

у d₂ - c_ik, k=1,…,n.

8) Если в определителе к какой–нибудь строке прибавить другую строку, умноженную на произвольное число, то определитель при этом не изменится.

< Доказательство всех этих свойств основано на определении определителя и несложных наблюдениях.

Докажем, например, свойство 1.

Пусть А = (aij), A(^t) = (bij) — транспонированная к А матрица, т.е.

b_ij = a_ji. (3)

Требуется доказать, что | A | = | A(^t) |.

Рассмотрим произвольный член определителя | A(^t) | : (-1)(^t) (4),

где t — число инверсий в перестановке j₁, j₂, …, j_n (5). Учитывая (3), перепишем (4) в виде (-1)(^t) = (-1)(^t) (6). Так как (5) — перестановка из n чисел, то правую часть (6) можно переписать следующим образом: (-1)(^t) = (-1)(^t) (7). Это равносильно тому, что подстановка (8) записывается в виде (9).

Из (6) и (7) получаем (-1)(^t) = (-1)(^t) (10).

Правая часть равенства (10) есть с точностью до знака член определителя | A |. Покажем, что перестановка l₁, l₂, …, l_n (11) имеет тот же характер четности, что и перестановка (5).

Действительно, перестановка (11) имеет ту же четность, что и подстановка (9), равная подстановке (8). Четность подстановки (8) совпадает с четностью обратной к ней подстановки (12). Наконец, подстановка (12) имеет ту же четность, что и перестановка (5). Итак, если k — число инверсий в перестановке (11), то с учетом (10) имеем (-1)(^t) = (-1)^k , т.е. член определителя |A(^t)|, соответствующий перестановке (5), равен члену определителя |A|, соответствующий перестановке (11). Отсюда и следует равенство определителей |A| и |A(^t)|.

Докажем теперь свойство 7.

Если (-1)(^t) есть произвольный член определителя (напомним, что t — число инверсий в перестановке j₁,..., j_i, ..., j_n), то

d = (-1)(^t) = (-1)(^t) =

= (-1) ^t + (-1) ^t = d₁ + d₂ . >

15. Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема лапласа.

Пусть В — некоторая матрица размером n x n. В = ,и kN,

1 ≤ k ≤ n.

Выделим в матрице В k произвольных строк с номерами i₁, i₂, ..., i_k и k произвольных столбцов с номерами j_1, j₂, ..., j_k . Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу размером k x k. Определитель полученной матрицы называется минором к-того порядка матрицы В. Обозначим его через М. Элементы, не попавшие на пересечение, образуют матрицу размером (n-k) x (n-k). Определитель полученной матрицы называют минором, дополнительным к минору М. Обозначим его через М₁.

Введем еще следующую сумму: S_M = i₁+ i₂+ ...+i_k + j₁+ j₂+ ...+j_k. Сумма S_M — это сумма номеров выделенных строк и выделенных столбцов. Тогда

М₁= А_m называется алгебраическим дополнением к минору М.

Существует общий способ сведения вычисления определителей порядка n к вычислению определителей меньших порядков с применением понятия минора и алгебраического дополнения.

Теорема Лапласа.

Пусть В  Р(n x n) — матрица порядка n, и 1 ≤ k < n. У матрицы В зафиксируем k произвольных строк. Тогда ее определитель равен сумме произведений всех миноров, содержащихся в выделенных строках, на их алгебраические дополнения, т.е. | B | = M1A1 + ... + MsAs.