16. Следствие 1, 2 из теоремы лапласа

Следствие 1 (разложение определителя по строке). Определитель матрицы В равен сумме произведений элементов какой–нибудь строки на их алгебраические дополнения.

< Следует из теоремы Лапласа при k = 1. >

Следствие 1 позволяет сводить вычисление определителя порядка n к вычислению определителей порядка (n - 1).

Следствие 2. Сумма произведений элементов строки определителя матрицы B на соответствующие дополнения к элементам другой строки равна нулю, т.е..

Пример:

det = det * det * (-1)(^1+2+1+2) =

=det * det = (-2) * (-3) = 6.

17. Определитель произведения матриц.

Теорема. Пусть А и В — две квадратные матрицы порядка n. Тогда определитель их произведения равен произведению определителей, т.е.

| AB | = | A| | B |.

< Пусть A = (aij) (n x n), B = (bij) (n x n). Рассмотрим определитель (d) (2n) порядка 2n

A

||

(d) (2n) =

||

B

(d) (2n) = | A | | B | (-1)(^1+...+n+1+...+n) = | A | | B |.

Если мы покажем, что определитель (d) (2n) равен определителю матрицы С=АВ, то теорема будет доказана.

В (d) (2n) проделаем следующие преобразования: к 1 строке прибавим (n+1) строку, умноженную на а11; (n+2) строку, умноженную на а12 и т.д. (2n) строку, умноженную на (а) (1n) . В полученном определителе первые n элементов первой строки будут нулями, а n других элементов станут такими:

a11* b11 + a12 * b21 + ... + (а) (1n) * (d) (1n) = c11_;

a11* b12 + a12 * b21 + ... + (а) (1n) * (d) (2n) = c12_;

_...

a11* (d) (1n) + a12 * (d) (2n) + ... + (а) (1n) * (d) (nn) = (c) (1n)_.

Аналогично получаем нули во 2, …, n строках определителя (d) (2n) , причем последние n элементов в каждой из этих строк станут соответствующими элементами матрицы С. В результате, определитель (d) (2n) преобразуется в равный ему определитель:

(d) (2n) = | C | (-1) )(^1+...+n+...+2n) = |AB|. >

Следствие. Определитель произведения конечного числа квадратных матриц равен произведению их определителей.

< Доказательство проводится индукцией: | A1 ... (A) (j+1) | = | A1... Aj | | (A) (j+1) | = ... = | A₁| ... | A_i+1 | . Эта цепочка равенств верна по теореме.>

18. Обратная матрица.

Пусть A = (aij) (n x n) квадратная матрица над полем Р.

Определение 1. Матрицу А будем называть вырожденной, если ее определитель равен 0. Матрицу А будем называть невырожденной в противном случае.

Определение 2. Пусть А  Pn. Матрицу В  Pn будем называть обратной к А, если АВ = ВА=Е.

Теорема (критерий обратимости матрицы). Матрица А обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.

< Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА(^-1) = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A(^-1) | = | E | или | A | | A(^-1) | = 1. Следовательно, | A |  0.

Пусть, обратно, | A |  0. Надо показать, что существует матрица В такая, что АВ = ВА = Е. В качестве В возьмем такую матрицу:

В = ,

где А_ij — алгебраическое дополнение к элементу а_ij . Тогда

АВ =

Следует заметить, что в результате получится единичная матрица (достаточно воспользоваться следствиями 1 и 2 из теоремы Лапласа), т.е. АВ = Е. Аналогично показывается, что ВА = Е. >

Пример. Для матрицы А найти обратную матрицу, или доказать, что ее нет.

А =

det A = -3  обратная матрица существует. Теперь считаем алгебраические дополнения.

А₁₁ = -3 А₂₁ = 0 А₃₁ = 6

А₁₂ = 0 А₂₂ = 0 А₃₂=-3

А₁₃ = 1 А₂₃ = -1 А₃₃ = -1

Итак, обратная матрица имеет вид: В = =

Алгоритм нахождения обратной матрицы для матрицы

1. Вычисляем det A.

2. Если он равен 0, то обратной матрицы не существует. Если det A не равен

0, считаем алгебраические дополнения .

3. Ставим алгебраические дополнения на соответствующие места.

4. Все элементы получившейся матрицы делим на det A.