9. Умножение матриц. Ассоциативность умножения.

Мы никак не мотивировали операцию сложения матриц, но едва ли это вызвало недоумение в силу своей естественности. Операция умножения матриц уже не обладает этим качеством.

Пусть A = (aij) (n x m), B = (bij) (n x p). Под произведением АВ понимают матрицу С с элементами cij

cij =

АВ := С= (сij) (m x p).

Например, А = и В = .

Тогда AВ =

5=1*0 + 2*1 + 3*1

6=1*1 + 2*1 + 3*1

7= 1*4 + 2*0 + 3*1 и т.д.

Берется i-тая строка матрицы А и j-тый столбец матрицы В, перемножаются покомпонентно и результаты складываются. Это есть элемент матрицы С на позиции i,j.

Свойство. Произведение матриц не коммутативно, т.е. АВВА, в том числе и квадратных.

Пример (доказывающий свойство):

=

Замечание 1. Запись A = (aij) (n x m) обозначает, что матрица А имеет размеры

m x n.

Замечание 2. В двойной сумме результат суммирования не зависит от порядка суммирования, т.е.

, ибо левая часть равенства и правая часть есть сумма элементов матрицы .

Теорема (об ассоциативности произведения матриц).все но

Пусть А, В, С — матрицы над числовым полем Р такие, что определено произведение АВ и ВС. Тогда имеют смысл произведения (АВ)С, А(ВС) и верно равенство (АВ)С = А(ВС).

< Пусть A = (aij) (n x m), B = (bij) (n x p), C=(cij) (p x s) . Они подходящих размеров, чтобы было определено AB и BC. Введем обозначения АВ =(dij) (m x p), BC = (lij) (n x s), A(BC) =(fij) (m x s), (AB)C = (rij) (m x s). Матрицы A(BC) и (AB)C одинаковых размеров. Требуется проверить, что fij = rij . Выразим fij и rij через элементы матриц А, В, С:

fij= = =

.

Полученные суммы отличаются лишь порядком суммирования, что не влияет на результат (по замечанию 2). >

Определение. Произведение нескольких матриц определим индуктивно, т.е. если имеем k матриц, то их произведение определим следующим образом: (A1, ... , A(k-1)) Ak

Упражнение. Доказать, что в произведении нескольких матриц скобки можно расставлять как угодно.

Указание. Воспользоваться ассоциативностью.

Теорема 2. Пусть A = (aij) (n x m). Тогда AEn = EmA = A, где Е — единичная матрица подходящего размера.

< Доказательство проводится непосредственной проверкой равенства:

=

Аналогично доказывается, что E_mA = А.>

Теорема 3. Пусть A = (aij) (n x m). Тогда АО (n x s) = O (m x s) , где О — нулевая матрица подходящего размера.

< Произведение таких матриц будет матрицей размером m x s. Каждый элемент, очевидно, будет равен 0. >

Теорема 4. (дистрибутивность умножения матриц относительно сложения матриц).

(А + В)С = АС + ВС, где С — матрица подходящего размера, A и B — матрицы одинаковых размеров.

< Пусть A = (aij) (n x m), B = (bij) (m x n), C=(cij) (n x p). Понятно, что (А + В)С и АС + ВС одинаковых размеров. Чтобы доказать их равенство, надо показать, что на одних и тех же местах стоят одни и те же элементы.

Следующее равенство доказывает теорему:

элемент на элемент элемент на

позиции I,j на позиции позиции I,j

матрицы I,j матрицы матрицы

(A + B)C AC AB