![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Делимость целых чисел
- •2. Построение комплексных чисел.
- •3. Сопряжение комплексных чисел.
- •Теорема 2. Справедливы следующие соотношения:
- •4. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •5. Извлечение корня из комплексного числа.
- •6. Корни из единицы.
- •7. Числовое поле.
- •8. Сложение матриц. Умножение матрицы на число.
- •9. Умножение матриц. Ассоциативность умножения.
- •10. Транспонирование матриц.
- •11. Перестановки.
- •12. Подстановки.
- •13. Определение определителя. Свойства 1, 2.
- •14. Свойства определителя (все).
- •15. Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема лапласа.
- •16. Следствие 1, 2 из теоремы лапласа
- •17. Определитель произведения матриц.
- •18. Обратная матрица.
- •19. Системы линейных уравнений.
- •20. Правило крамера
- •21 Многочлены. Сложение и умножение многочленов.
- •22. Деление многочленов.Теорема о делении с остатком.
- •25. Наименьшее общее кратное многочленов (нок).
- •28. Корни многочлена.
- •31. Формулы виета. Кратные корни.
- •37. Подгруппа. Критерий подгруппы.
- •38. Кольцо. Свойства колец.
- •39. Поле. Свойства поля
- •40. Характеристика поля
- •41. Конечные кольца и поля.
19. Системы линейных уравнений.
Определение 1. Уравнение вида a1x1+ ....+an xn=b , где a, ... ,an — числа; x1, ... ,xn — неизвестные, называется линейным уравнением с n неизвестными.
s уравнений с n неизвестными называется системой s линейных уравнений с n неизвестными, т.е.
(1)
Матрица
А, составленная из коэффициентов при
неизвестных системы (1), называется
матрицей системы (1).
.
Если к матрице А добавить столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу системы (1).
X
=
— столбец неизвестных.
— столбец свободных членов.
В матричном виде система имеет вид: AX=B (2).
Решением системы (1) называют упорядоченный набор n чисел (α1 ,…, αn) таких, что если сделаем подстановку в (1) x1 = α1, x2 = α2 ,…, xn = αn , то мы получим числовые тождества.
Определение 2. Систему (1) называют совместной, если она имеет решения, и несовместной в противном случае.
Определение 3. Две системы называют эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Существует универсальный способ решения системы (1) — метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)
Рассмотрим более подробно случай, когда s = n. Существует метод Крамера решения таких систем.
Пусть
d
= det
,
dj — определитель d, в котором j–тый столбец заменен столбцом свободных членов.
20. Правило крамера
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы d 0, тогда система имеет единственное решение, получающееся по формулам:
x1 = d1 / d …xn = dn / d
<Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим
X
=
,
B
=
и рассмотрим уравнение AX = B (2) с неизвестной матрицей-столбцом X. Так как A, X, B — матрицы размеров n x n, n x 1, n x 1 соответственно, то произведение прямоугольных матриц АХ определено и имеет те же размеры, что и матрица В. Таким образом, уравнение (2) имеет смысл.
Связь
между системой (1) и уравнением (2)
заключается в том, что
является решением данной системы
тогда и только тогда, когда
столбец
есть решение уравнения (2).
Действительно, это утверждение означает выполнение равенства
=
=
.
Последнее равенство, как равенство матриц, равносильно системе равенств
которое означает, что — решение системы (1).
Итак, решение системы (1) сводится к решению матричного уравнения (2). Так как определитель d матрицы А отличен от нуля, она имеет обратную матрицу А-1. Тогда АХ = В А(^-1)(АХ) = А(^-1)В (А(^-1)А)Х = А(^-1)В ЕХ = А(^-1)В Х = А(^-1)В (3). Следовательно, если уравнение (2) имеет решение, то оно задается формулой (3). С другой стороны, А(А(^-1)В) = (А А(^-1))В = ЕВ = В.
Поэтому Х = А(^-1)В есть единственное решение уравнения (2).
Так
как
,
где Аij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе d, то
=
,
откуда
(4).
В равенстве (4) в скобках написано разложение по элементам j-го столбца определителя dj, который получается из определителя d после замены в нем
j-го столбца столбцом свободных членов. Поэтому, xj = dj/ d. >
Следствие. Если однородная система n линейных уравнений от n неизвестных имеет ненулевое решение, то определитель этой системы равен нулю.