- •1. Делимость целых чисел
- •2. Построение комплексных чисел.
- •3. Сопряжение комплексных чисел.
- •Теорема 2. Справедливы следующие соотношения:
- •4. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •5. Извлечение корня из комплексного числа.
- •6. Корни из единицы.
- •7. Числовое поле.
- •8. Сложение матриц. Умножение матрицы на число.
- •9. Умножение матриц. Ассоциативность умножения.
- •10. Транспонирование матриц.
- •11. Перестановки.
- •12. Подстановки.
- •13. Определение определителя. Свойства 1, 2.
- •14. Свойства определителя (все).
- •15. Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема лапласа.
- •16. Следствие 1, 2 из теоремы лапласа
- •17. Определитель произведения матриц.
- •18. Обратная матрица.
- •19. Системы линейных уравнений.
- •20. Правило крамера
- •21 Многочлены. Сложение и умножение многочленов.
- •22. Деление многочленов.Теорема о делении с остатком.
- •25. Наименьшее общее кратное многочленов (нок).
- •28. Корни многочлена.
- •31. Формулы виета. Кратные корни.
- •37. Подгруппа. Критерий подгруппы.
- •38. Кольцо. Свойства колец.
- •39. Поле. Свойства поля
- •40. Характеристика поля
- •41. Конечные кольца и поля.
3. Сопряжение комплексных чисел.
Пусть z = a+bi, тогда:
a = Re z — действительная часть комплексного числа,
b = Im z — мнимая часть комплексного числа.
Множество точек плоскости может служить геометрическим изображением комплексных чисел.
Определение 5. Два комплексных числа равны, если равны их мнимые и действительные части (следует из геометрической интерпретации комплексных чисел).
Два комплексных числа называют сопряжёнными, если их действительные части равны, а мнимые — противоположны (сопряжённое к z обозначаем через ).
Упражнение 1. Сумма и произведение двух комплексных чисел z и (сопряжённых) — действительное число.
Теорема 2. Справедливы следующие соотношения:
1) = + ;
2) = – ;
3) = ;
4) = .
Доказательство.
Доказательство 1) – 4) однообразно и сводится к подсчёту левой и правой частей и их сравнению. Например: z1=a+bi, z2=c+di. Докажем
1) = + . По определению
= a-bi ; =c-di и
= (a+c)–(bi+di),
+ = (a–bi)+(c–di) = (a+c)–(bi+di).
Значит = + .
4. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Пусть z = a+bi , полагаем r =(def) =|z|, r — модуль комплексного числа z.
a+bi= , положим
= cos и = sin .
Пусть z0, тогда угол определен однозначно с точностью до 2k. Если 02, то он определен однозначно. Угол называют аргументом комплексного числа z, r и — полярные координаты точки.
Из тригонометрии мы знаем как искать , если известно a и b.
Если r=0, то может быть любой, то есть аргумент нуля не определён; r0, то аргумент определен с точностью до 2πk.
z = r(cos+i sin) (1)
Назовем выражение (1) тригонометрической формой комплексного числа.
Если два комплексных числа равны, то их модули равны, а их аргументы, вообще говоря, отличаются на 2k.
Теорема 1.
Пусть z1 = r1 (cos1+i sin1), z2 = r2 (cos2+i sin2). Тогда:
1) z1z2 = r1r2(cos(1+2)+i sin(1+2))
(модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов);
2)
(модуль частного комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент – разности аргументов).
Доказательство:
Докажем 1).
z1z2 =r1r2(cos1cos2–sin1sin2+i(sin1cos2+cos1sin2))=r1r2cos(1+2)+i sin(1+2)).
Аналогично с частным.
Следствие 1
Пусть z = r (cos+i sin), тогда z^(-1)= (cos(–)+i sin(–)).
Доказательство:
Z^(-1)= = = = (cos(–)+i sin(–)).
Следствие 2 (формула Муавра).
Пусть z = r (cos+i sin). Тогда z^n= r^n(cos(n)+i sin(n)) для любого nZ.
Доказательство:
Если n — натуральное, то формула Муавра следует из правила умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.
Если n — отрицательное, то можно представить z^n= (z -1)^(-n) и применить следствие (1) и доказанную формулу Муавра для nN.
Замечание. Тригонометрическая форма комплексного числа хорошо приспособлена для выполнения действий умножения, деления, возведения в степень.
5. Извлечение корня из комплексного числа.
Пусть z = a+bi.
Надо извлечь корень из z.
— ?
обозначим через z1, то z1(^2)= z.
Пусть z1 = x+iy, тогда
(x2–y2)+2xyi = a+bi,
Решив эту систему, мы найдем подходящие значения z1.
Если так действовать и для извлечения корней более высокой степени, то придётся уметь решать уравнения соответствующих степеней.
Для извлечения корня из комплексного числа хорошо приспособлена тригонометрическая форма комплексного числа.
Пусть z = r(cos+i sin), надо найти = z1, положим
z1=ρ (cos+i sin), z1(^n)==ρn(cos(n)+i sin(n), r = ρn ρ = , = n+2k = .
Получим
= (cos + i sin ) (1),
где k — любое целое число, то есть корень n–той степени из произвольного комплексного числа z всегда существует и его можно посчитать по формуле (1), причем формула (1) даёт все корни, если k пробегает множество целых чисел (достаточно ограничиться k = 0,…, n–1 )
Если возьмем k – любое, то мы можем разделить его с остатком на n:
k = nq+s ; 0sn–1
.
Углы [2] и [3] отличаются на кратное 2, и поэтому косинусы и синусы от них совпадают, следовательно формула (1) при угле [2] и при угле [3] даёт одинаковое значение.
Если брать k от 0 до n–1 , то мы получим все значения. Нетрудно заметить, что все эти значения разные (смотри геометрическую интерпретацию).
Теорема 4.
Извлечение корня степени n из комплексного числа всегда возможно, и даёт n различных значений, получающихся по формуле (1).
Теорема нами доказана ранее.
Замечание (геометрическая интерпретация).
Все значения расположены на окружности радиуса с центром в начале координат и делят окружность на n равных частей: