Модели простой линейной и нелинейной регрессии

Регрессионная модель. Во многих практических задачах анализа, изучая различного рода связи в экономических системах, необходимо на основании статистических или учетных данных выразить зависимую переменную в виде некоторой математической функции от независимых переменных – регрессоров, т.е. построить регрессионную модель. Регрессионный анализ позволяет:

1. производить расчет регрессионных моделей путем определения значений параметров – постоянных коэффициентов при независимых переменных – регрессорах, которые часто называют, кроме того, факторами;

2. проверять гипотезу об адекватности модели имеющимся наблюдениям;

3. использовать модель для определения значений зависимой переменной при новых или ненаблюдаемых значениях независимых переменных.

Типы регрессионных моделей. Среди регрессионных моделей обычно выделяют однопараметрические модели (зависимости от одной переменной) и многопараметрические модели (зависимости от нескольких переменных), а также модели, линейно зависимые относительно независимых переменных, нелинейные по переменным и нелинейные по параметрам.

Наиболее простыми для построения и анализа являются однопараметрические и многопараметрические линейные модели, которые содержат независимые переменные только в первой степени.

Рассматриваемые ниже, наиболее распространенные методы регрессионного анализа являются параметрическими; большая их часть основана на предположении о нормальном распределении данных, поэтому в каждом случае анализа необходима предварительная проверка соответствия данных нормальному распределению.

Модель простой линейной регрессии имеет вид:

у =.а_о + а₁  х + , (8.1)

где у – функция;

x – независимая переменная – регрессор (фактор);

a₀ и a₁ – постоянные коэффициенты (параметры);

 – случайная ошибка.

Для получения оценок параметров модели в большинстве случаев используют метод наименьших общих квадратов, основанный на минимизации среднеквадратической ошибки модели и его модификации¹.

Основные оценки моделей. При выполнении регрессионного анализа нужно получить оценки, позволяющие оценить точность модели и вероятность ее существования. При нормальном законе распределения эти условия будут удовлетворены, если оценить:

1. ожидаемые значения коэффициентов a₍₎ и a₁

2. стандартные ошибки коэффициентов;

3. коэффициент детерминации, который показывает, какую долю изменения переменной объясняет регрессионная модель;

4. стандартную ошибку модели в области значения данных;

5. значение F-статистики Фишера, которая характеризует адекватность, т.е. качество модели, и показывает, оправдано ли использование модели с точки зрения повышения точности;

6. уровень значимости гипотезы о нулевых значениях коэффициентов и отсутствии связи между независимой переменной и функцией.

Кроме того, бывает необходимо для оценки качества модели в условиях заметного влияния факторов, которые не учитываются моделью, получить значения регрессионных остатков – разностей между использованными для обработки экспериментальными данными и результатами, предсказываемыми моделью. Регрессионные остатки не должны зависеть от величины независимой переменной. Если такая зависимость имеется, то адекватность модели сомнительная.

Пример. Построим регрессионную модель связи себестоимости реализации и выручки от реализации по отчетам о прибылях и убытках предприятия, чтобы выделить постоянные издержки из суммы издержек. В табл. 8.5 приведены необходимые дынные за 12 месяцев работы предприятия.