18. Сплайновая модель пространственных кривых и поверхностей

Сплайн порядка k - это функция S_K(t), существующая на промежутке [t₀,t_m] с заданными узлами t₀<t₁…<t_m, k – 1 - раз непрерывно дифференцируемая на нем и на каждом частичном отрезке [t_i, t_i+1] совпадающая с некоторым многочленом степени не выше k .

Кубический сплайн - это гладкая кусочно-кубическая кривая, удовлетворяющая следующим свойствам:

- на каждом интервале [t_i,t_i+1] является кубическим полиномом;

- первые две производные S₃(t ) непрерывны в узлах [t₀,t_m].

Термин «сплайн» пришел из техники, где он определял название инструмента - тонкой длинной линейки. С точки зрения физики сплайновые кривые минимизируют энергию внутренних напряжений. С математической точки зрения сплайновая кривая минимизирует среднюю квадратичную кривизну и в этом смысле она является более гладкой, чем кривые Эрмита и Безье.

Существует несколько разновидностей сплайновых кривых: классический интерполяционный сплайн и форма базового сплайна -B-сплайн.

Классический интерполяционный сплайн

Функция данной разновидности сплайна должна удовлетворять следующим условиям:

1) S_i(t_i) = f_i , i=0..m.

2) на любом частном отрезке [t_i,t_i+1], i=0..m, функция должна иметь вид:

3) на всем интервале [t₀,t_m] функция должна иметь непрерывную вторую производную.

На каждом частичном отрезке [t_i,t_i+1] конфигурация сплайна определяется четырьмя коэффициентами: a_i0 ,a_i1 ,a_i2 ,a_i3 . Так как таких отрезков n-1, то для полного построения кривой сплайна S(t) , проходящих через m+1 точку, (m - отрезков) необходимо вычислить 4m - коэффициентов. Первыми уравнениями, определяющими систему описания сплайна является, m+1 уравнение, описывающее свойство:

1 ) S_i(t_i) = f_i , таких уравнений m+1 , условия непрерывности сплайна во всех внутренних точках дает еще m-1 уравнение;

2 ) уравнений.

Условие непрерывности первых производных дает еще m-1 уравнение;

3 )

Условие непрерывности вторых производных дает еще m-1 уравнение;

4) .

Т.е. в итоге получается 4m-2 уравнения. Для получения однозначного решения необходимо дополнить полученную систему двумя уравнениями. Эти уравнения могут быть выбраны произвольным образом, в зависимости от поставленной задачи, либо от удобства вычисления. Как правило, в качестве двух дополнительных уравнений рассмотрим один из следующих вариантов:

1) определяется значение первых производных в концевых точках отрезка

2 ) определяется значение двух первых производных в начальной точке

3) определяется значение двух первых производных в конечной точке

исходными данными для решения данной системы уравнений являются преимущественно скалярные данные (координаты узловых точек кривой). По сравнению с кривыми Эрмита и Безье данная сплайновая форма обладает двумя преимуществами:

- содержит минимальную априорную информацию о производных

- поддерживает более высокую степень гладкости кривой.

Существенным недостатком для практического использования данной сплайновой формы является то, что при изменении одной из точек, либо при внесении новой точки в сплайновую кривую возникает необходимость повторного решения, всей системы состоящей из четырех уравнений. Чтобы устранить данный недостаток используются В-сплайны.

Модель B-сплайна

Модель базового или фундаментального сплайна разработана в рамках прикладной геометрии.

В-сплайном k-го порядка (или k-1 степени) называется сплайн, определенный на любом числе последовательно расположенных смежных отрезков, но только на k из них отличный от 0 .

Носитель - это число отрезков, на которых сплайн отличен от нуля. С этой точки зрения В-сплайн можно определить как сплайн, имеющий минимальный носитель.

Кубический В-сплайн может быть определен на любом числе смежных отрезков, но только на четырех из них отличен от нуля.

Любой сплайн произвольного порядка m , заданный на n узлах t_0, t₁,…,t_n может быть выражен в виде линейной комбинации В-сплайнов, определенных на том же количестве основных узлов с использованием m-1 дополнительного узла на каждом из концевых интервалов. На расширенном таким образом множестве узлов можно построить m+n-1 последовательных В-сплайнов, каждый из которых отличен от 0 только на m последовательных отрезках. Тогда сплайновая кривая будет описываться следующим образом:

где S(t) - сплайн порядка m , определенный на n узлах, а M_mi(t) - функция В-сплайна, заданная на расширенном множестве узлов и отличная от нуля при t_i-m < t < t_i ; C_i – весовые коэффициенты.

Линейный В-сплайн (первой степени или второго порядка), который определяется на двух смежных отрезках, изображен на рис.:

Квадратичный В-сплайн второй степени или третьего порядка, определенный на трех отрезках, имеет вид, представленный на рис.:

Кубический В-сплайн третьей степени, определенный на четырех отрезках - на рис.:

Построение В-сплайновой модели поверхности происходит на базе В-сплайновой модели кривых и полностью аналогично построению модели по форме Эрмита и Безье. Формат поверхности формы В-сплановой поверхности описывается следующим уравнениями:

В матричной форме они будут выглядеть следующим образом:

где U=(u³ u² u 1), - векторы параметров,

P_x, P_Y, P_Z - матрицы, определяющие соответственно x-, y- и z-координаты управляющих точек по соответствующим координатам,

- трехмерная матрица, определяющая полные координаты вершин (геометрическая матрица В-сплайна), Ms - матрица В-сплайна.