7 Математическая модель и виды перспективного проецирования
Перспективные проекции
Использование перспективного проецирования позволяет получать результаты на экране монитора в виде наиболее близком к реальности. При построении перспективных проекций используется математический аппарат перспективной геометрии, для которой отсутствует понятие параллельных линий, а плоскость проецирования может представлять собой полусферическую поверхность. Перспективные преобразования можно рассматривать, как преобразование из одного трехмерного пространства (3D-пространства), подчиняющегося евклидовой геометрии, в другое трехмерного пространство, в котором определены законы перспективной геометрии. Комбинация перспективного преобразования с проекционным преобразованием образуют перспективную проекцию. Перспективное проецирование включает в себя две операции:
переход из одного 3D-пространства в другое 3D пространство.
переход из 3D-пространства на плоскость (2D-пространство).
Формально перспективное преобразование отличается тем, что верхние три элемента последнего столбца матрицы преобразований Т содержат отличные от нуля элементы. Например: перспективная проекция на плоскость Z = (X 0 Y) обеспечивается специальным преобразованием:
(1)
Таким образом:
z`=0 (2)
Таким образом, преобразование (1) осуществляет перспективное преобраз-е на плоскость z = 0 из центра, помещённого в точку С(0 0 −k) или C(0 0 -1/r) . В перспективном проецировании рабочее пространство не является евклидовым, поэтому все необходимые аффинные преобразования необходимо выполнить до перехода к перспективной геометрии. Поэтому, чтобы получить перспективное изображение нужно осуществить три действия:
1) выполнить аффинные преобразования, определённые в задании;
2) выполнить перспективные преобразования;
3) осуществить проецирование на заданную плоскость.
В некоторых практических задачах требуется выполнить ряд перспективных проекций одного и того же объекта. Однако при выполнении преобразования (1) информация обо всех z-координатах объекта теряется. Для того чтобы избежать потери информации об удалённости объекта используется преобразование следующего вида:
(4)
В этом случае начало системы координат также не изменяется и находится в точке (0 0 0 1) . Точку, расположенную в бесконечности на оси Z можно описать при помощи следующего вектора: (0 0 1 0) после выполнения преобразования точки Z = ∞ получаем следующий результат:
Таким образом,
положительная полуплоскость 0
≤ Z ≤ ∞ в результате
перспективного преобразования
проецируется ограниченную область с
координатами 0 ≤
Z' ≤ 1/r
или 0 ≤ Z' ≤ k.
Кроме того линии, которые были параллельны
оси OZ
, после преобразования будут пересекаться
точке C
координатами (0
0 1/r)
или (0 0 k).
Точка C
называется точкой схода перспективного
преобразования. Если центр проецирования
– т.С
имеет координаты c
z = -k
= -1/r
на оси OZ,
то точка схода располагается симметрично
относительно начала системы координат
на этой же оси в точке z
= k
= 1/r.
Рассмотренные выше преобразования
относились к единственному варианту
перспективных проекций, определяемому
вектором-столбцом
.
Аналогичным образом можно выполнить
преобразования, приводящие к точкам
схода на осях OX
и OY.
Преобразования (4) приводят к перспективной проекции, имеющей одну точку схода и, соответственно, один центр проецирования. Данные три перспективных преобразования называются одноточечными перспективными проекциями.
В том случае если два из трёх верхних элементов четвёртого столбца отличны от нуля, матрица преобразований Т определяет двухточечную или угловую перспективу. Например:
Существует три варианта двухточечных проекций.
В том числе, если все три верхние элемента четвёртого столбца матрицы преобразований отличны от 0 , то имеет место трёхточечная или косая перспектива. Например:
