Вопрос 5.Теорема сложения вероятностей несовместных событий и ее следствия.

Напомним что события А и В называются несовместимыми, если появление события А исключает появления события В. Др словами эти события не имеют общих исходов.

Теорема Р( А+В)=Р(А)+Р(В)

Док-во: пусть совытие А благоприятствует м1 исходов из n исходов. Т.е. А≈m1 исх

B≈m2 исх

Р(А)=m1/n; P(B)=m2/n

Т.к А и В несовместны то А+В соответствует m1+m2 исходам, тогда Р(А+В)=m1/n+m2/n=P(A)+P(B)

Следствие:

1. По индукции теорема справедлива для любого числа событий:

Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+…+Р(Аn)

2. Сумма вероятностей событий образующих полную группу равна 1

Д-во

По определению полной группы А1+А2+…+Аn=Ω

Р(Ω)=1

Р(А1+А2+…+Аn)= Р(А1)+…+Р(Аn)

3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Р(А)+Р(А^-)=1

р q

p+q=1

q=1-p

Вопрос 6.Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.

ОПР: Вероятность событий в., вычисленная при условии, что событие А произошло называется УСЛОВНОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ события В и определяется равенством

P(B/A)=P(BA)/P(A), где P(A)≠0

Из определения следует P(AB)= P(A)xP(B/A). Равенство называется теоремой умножения.

Равенство позволяет решать задачи причем оно справедливо не только для 2-х, а и для n событий. В этом случае P(A1A2…An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1)

ОПР Событие В называется независимым от события А, если условная вероятность P(B/A)=P(B)

Можно показать, что если независимые события В и А независимы(В не зависит от А), то А не зависит от В. А не зависит от В и В^-, В не зависит от А и А^-

Для независимых событий теорема умножения примет вид: P(AB)=P(A)P(B)

ОПР: Несколько событий назывкается независимыми в сов-ти, если независимы попарно любые 2 из них и независимы каждые совытия и всевозможные произведения остальных

Теорема: Если событие А1 А2 …Аn независимы в сов-ти то P(A1A2…An=P(A1)P(A2)…P(An)

Вопрос 7 Вероятность появления хотя бы одного из n событий, независимых в совокупности.

Вероятность появления хотя бы одного из n событий, независимых в совокупности равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р( )=1- , (7), где - вероятность противоположного события

Доказательство: Т.к. событие и противоположны, то I их вер-тей равна 1 Р( )=1- Р( )=1- .

Следствие: Если события имеют равные вер-ти q( )=q, то вер-ть наступления хотя бы одного из них : Р( )=1- (8)

Вопрос 8 Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность наступления только одного, хотя бы одного события

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (9)

А+В= +АВ+ В-несовместимы

Р(А+В)=Р(А )+Р(АВ)+Р( В) (*)

Очевидно, что А= А +АВ

Р( В)=Р(А)-Р(АВ) (**)

В= В+АВ

Р( В)=Р(В)-Р(АВ) (***)

(**) и (***) подставим в (*)

Р(А+В)=Р(А)-Р(АВ)+Р(АВ)+Р(В)-Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Вопрос 9 Формула полной вероятности и формула Байеса

Если события образуют полную группу, то для вычисление вероятности произвольного события А можно использовать формулу полной вероятности

Р{A}=P{A|H1}P{H1}+ P{A|H2}P{H2}+…+ P{A|Hn}P{Hn}= P{A|Hi}P{Hi}

в соответствии с которой вероятность наступления события А может быть представлена как сумму произведений условных вероятностей события А при наступлении событий Нi на безусловные вероятности этих событий Нi . Поскольку среди событий , образующих полную группу, в результате опыта должно наступить одно и только одно, эти события Аi называют гипотезами ( ). Формула полной вероятности остается справедливой и в случае, если условие состоящее в том, что события образуют полную группу, заменить более слабым: гипотезы ( ) попарно несовместимы ( , ), а их объединение содержит событие А( ).

Из формулы полной вероятности следует формула Байеса

Вероятности гипотезы называют априорными вероятностями (вероятностями гипотез до проведения опыта) в отличие от апостериорных вероятностей ( вероятностей гипотез уточненных в результате опыта исходом которого стало событие А )