Вопрос 32 Локальная и интегральная теоремы Лапласа как следствие теоремы Ляпунова.

Теорема Муавра-Лапласа. Пусть СВ К - число “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли. Тогда при n   и фиксированном значении вероятности “успеха” в одном испытании p закон распределения СВ K неограниченно приближается к нормальному закону N(np, ).

Пусть СВ X_i подчиняется закону распределения Бернулли, следовательно M[X_i] = p и D[X_i] = ² = pq. Так как согласно ЦПТ при n   и фиксированном значении p закон распределения СВ неограниченно приближается к нормальному закону N(n p, ), что и требовалось показать. 

Следствие. Если в условии теоремы вместо СВ К рассмотреть СВ К/n - частоту “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли, то ее закон распределения при n   и фиксированном значении p неограниченно приближается к нормальному закону N(p, ).

Замечание. Пусть СВ К - число “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли. Законом распределения такой СВ является биноминальный закон. Тогда при n   биноминальный закон имеет два предельных распределения:

распределение Пуассона (при n   и  = np = const);

распределение Гаусса N(np, ) (при n   и p = const).

Вопрос 32 Теорема Ляпунова

Если независимые СВ X1, X2…Xn имеют мат ожидания A1, A2…An, дисперсии δ1,δ2,δn и абсолютные центр моменты 3го порядка С1,С2,Сn, если выполняется условие Ляпунова

limn→∞(C1+C2+…Cn)/(δ1+δ2+…+δn)3/2=0, тоX1+X2+Xn при n→∞ распределена по нормальному закону с параметрами a=a1+a2+an, δ=δ1+δ2+δn. Заменяя практическое распределение нормальным законом мы совершаем погрешность, но на практике если n>=30, погрешность незначительна.

Вопрос 33 Предмет и задачи мат статистики, ген и выборочная совокупности, способ отбора.

Мат стат-раздел математики, изучающий методы отбора, систематизации и обработки результатов наблюдений, массовых случ явлений с целью выяснения существующих закономерностей. Задачи:1-указание способов сбора и группировки стат сведений (описательная статистика) 2-разработка методов анализа стат данных а) оценка вероятности события б)функции распределения в) зависимость случ величины от других величин г) проверка стат гипотез. Ген сов-ть – сов-ть объектов, все элементы кот подлежат изучению; м.б. конечной/бесконечной. Выборочная сов-ть часть объектов ген сов-ти используемая для исследования. Способы отбора: 1)простой случайный бесповторный, когда кажд элемент, случайно отобранный исследователем, не возвращается в ген сов-ть 2)простой случайный повторный отбор, когда элемнт возвращается в ген сов-ть

Вопрос 34 Построение дискретного вариационного ряда. Эмпирическая ф-ия распределения.

Дан ряд чисел. Частота варианты-(Xi) число mi, показывающее сколько раз эта варианта встречается в выборке. Частость(относительная частота) доля варианты W=mi/n. Полигон частот-ломаная линия, соединяющая точки плоскости с координатами(Xi, Mi). Кумулянта- ломаная, соединяющая с координатами (Xi, Mxi). Эмпирическая ф-ия распределения F*(x)=mi/n=Wx. Св-ва F*:1. 0<=F*<=1; 2. неубывающая; если x1-наименьшая варианта, а Xk-наибольшая варианта, то F*(x)=0 при x<=x1 и F*(x)=1 при x>xk