Вопрос 35 Построение интервального вариационного ряда. Гистограмма частот.
В общем случае справедлива теорема: M(Dв)=((n-1)/n)Dr. Вводится понятие исправленной выборочной дисперсии S²=(n/(n-1))Dв=(∑(xi-x)²mi)/(n-1). Если произведена выборка небольшого объема, то точечная оценка непригодна, тогда поступают так: по сделанной выборке находим точечную оценку Ô→выборочное неизвестного параметра Ô ген сов-ти; по опр правилам вычисляем такое число ∆>0, чтобы интервал с данной вероятностью γ (или P) включал в себя неизвестный параметр Ô, т.е. чтобы была справедлива формула доверительной вероятности (1) P(Ô-∆<Ô<Ô+∆)=γ(гамма, доверит. вероятность). ∆-точность оценки, (Ô-∆;Ô+∆)-доверительный интервал.
Вопрос 36 Средняя арифметическая и ее свойства. Устойчивость выборочных средних
Пусть дан дискретный вариационный ряд
Xi |
x1 |
x2 |
xi |
xn |
Mi |
m1 |
m2 |
mi |
mn |
Средняя арифметическая ряда называется число х = (xi.mi)/(mi)
Существует ряд свойств средней арифметической, облегчающих ручные вычисления (метод произведения)
Вопрос 37 Дисперсия вариационного ряда и ее св-ва. Исправленная выборочная дисперсия.
Диперсией вариационного ряда называется число D=(xi-x)^2)/n , xi-с-на интервала, если ряд интервальный
Вопрос
39
Доверительный
интервал J()
= (
,
)
Постановка задачи. Пусть СВ X N(, ), где и - неизвестные параметры. По выборке объема n требуется построить ДИ для параметра с уровнем доверия .
Для этого воспользуемся
тем, что СВ
2n-1,
где
- точечная оценка дисперсии D[X].
По таблицам 2
- распределения найдем квантили уровня
(1-)2
и (+1)2
распределения Пирсона с (n-1)
степенями свободы x
(1-)2
и x
(+1)2,
для которых справедливо:
P{x (1-)2 < W < x (+1)2} = P{W < x (+1)2} - P{W < x (1-)2} = ( + 1)2 - (1 - )2 = .
Проводя элементарные преобразования, получаем:
P{(n-1)S2/x (+1)2 < 2 < (n-1)S2/x (1-)2} = и P{[(n-1)S2/x (+1)2]1/2 < < [(n-1)S2/x (1-)2]1/2} = ,
где S2 - точечная оценка дисперсии D[X]. Тем самым получены ДИ для параметров 2 и :
J(2) = ( (n-1)s2/x (+1)2, (n-1)s2/x (1-)2 ) и J() = ( [(n-1)s2/x (+1)2]1/2, [(n-1)s2/x (1-)2]1/2 ),
где x (1-)2 и x (+1)2 - квантили уровня (1-)2 и (+1)2 распределения Пирсона с (n-1) степенями свободы;
s2 - выборочное значение дисперсии D[X].
Пример.
Пусть измеряемая величина X
N(,
)
- давление газа. По четырем испытаниям
установлены: выборочное среднее
= 120 МПа и выборочное значение дисперсии
s2
= 4 (МПа)2.
Требуется определить ДИ для X
с уровнем
значимости
= 0,1.
Решение. Сначала определим квантили уровня 0,05 и 0,95 распределения Пирсона с 3 степенями свободы: x0,05 = 23; 0,95 = 0,35 и x0,95 = 23; 0,05 = 7,8. Следовательно J0,9(X) = (1,24; 5,8) МПа.
Вопрос 41 Основные понятия стат проверки гипотез. Гипотезы h0 и h1, критерии проверки, ошибки первого и второго рода, критическая область, мощность критерия.
Стат гипотеза – любое предположение о параметрах и св-вах ген распределения. Подлежащая проверке гипотеза – основная/нулевая гипотеза H0. Гипотеза, противопоставленная Н0, называется конкурирующей/альтернативной Н1. Критерий проверки-правило, по кот решают отклонять или не отклонять проверяемую гипотезу.Он реализуется с помощью случ вел (статистики) Ô, определенной на выбранном пространстве.Все множество критериев Ô разбивают на 2: 1)критическая область W0 2)допустимая область S. Критическая область-подмножество W0 возможных значений критерия, при кот гипотезу отклоняют. Виды: левосторонняя, правосторонняя, двусторонняя. W0={Ô:P(Ô€W0=α}. Если по результатам выборки оказывается, полученное значение критерия Ôнабл€W0, то гипотезу отклоняют.