Вопрос 15.Биноминальное распределение

Пусть имеются n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p и неуспеха q, p+q=1. Дискретная случайная величина Х – число успехов имеет распределение p_k=P(X=k)= Cn^kp^kq^n-k, k=0 1 2 …n. Это распределение называется биномиальным с параметрами. Заметим что сумма вероятностей

СУММАp_k=СУММАCn^kp^kq^n-k=(p+q)ⁿ=1

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х: МХ=np, DX=npq

Максимум вероятностей р_к, достигается при к=[np-q]+1

Вопрос 16.Закон Пуассона

Говорят что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если она принимает целые значения 0, 1, 2… С ВЕРОЯТНОСТЯМИ p_k=P(X=k)=(e^-λ λ^k)/k!, где к=0, 1, 2…

Где λ > 0 – параметр распределения, при этом СУММА p_k= e^-λСУММА λ^k/k!,= e^-λe^λ=1

Математическое ожидание и дисперсия пуассоновской случайной величины = параметру распределения МХ=λ; DX=λ

Вопрос 17.Равномерной дискретное распределение

Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение если она принимает значение m с вероятностями

p_m=P(X=m)=(C^m_MC_N-M^n-m)/C_Nⁿ

где m = 0 1 2… к (к= min(n,M); M≤N; n≤N. Вероятность p_m является вероятностью выбора m объектов, обладающих заданным свойством, из множества n объектов случайно извлеченных из совокупности N объектовсреди которых M объектов обладают заданным свойствам.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины имеющих гипергеометрическое распределение с параметрам и n,M,N:

MX=n(M/X) DX=n(M/N-1)(1-M/N)(1-n/N)

Вопрос18.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.

Случайной величиной Х называется непрерывной если она принимает более чем четное число значений. Случайная величина Х называется абсолютно непрерывной если ее финкция может быть представлена в виде F_X(x)=интегралу f_X(z)dz

При этом функция f_X(x) называется плотностью распределения вероятности случайной величины Х. График плотности распределения случайной величины Х называется кривой распределения вероятностей случайной величины Х.

Плотность распределения обладает следующими св-ми:

Для всех Х принадлежащих R f(x)≥0

Интеграл f(z)dz=1

Для всех точек Х принадлежащему R в которых существует производная F’(x):f(x)=F’(x)

Вопрос 19 Математичиское ожидание МХ непрерывной случайной величины, имеющей плотность, определяется формулой МХ=интегралу xp(x)dx, а дисперсия формулой DX=M(X-MX)²= интегралу (x-MX)²p(x)dx

Для вычисления дисперсии так же верна формула DX=MX²-(MX)², откуда для непркрывной случайной величины получаем DX= интеграл x²p(x)dx-(MX)²

Величина σХ=корню кв. DX называется средним квадратичным отклонением случайной величины.

Все свойства математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных величин переносятся и на случай непрерывных случайных величин.

Вопрос 20 равномерный закон распределения

СВНТ Х называется распределенной равномерно на отрезке [a, b] (при этом для краткости говорят: СВ Х подчиняется закону R(a, b), т.е. Х  R(a, b)), если плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке. Тогда плотность распределения (ПР) f(x) и функция распределения (ФР) F(x) будут иметь следующий вид: