- •Вопрос 1 Предмет тв
- •Вопрос 2.Случайные события и их классификации.
- •Вопрос 3.Классическое, статистическое и геометрическое опр вероятности.
- •Вопрос 5.Теорема сложения вероятностей несовместных событий и ее следствия.
- •Вопрос 6.Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.
- •Вопрос 7 Вероятность появления хотя бы одного из n событий, независимых в совокупности.
- •Вопрос 8 Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность наступления только одного, хотя бы одного события
- •Вопрос 9 Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Вопрос 10 Понятие дискретной случайной величины и ее з-на распределения. Многоугольник распределения.
- •Вопрос 12.Математическим ожиданием (средним значением по распределению) называется действительное число, определяемое в зависимости от типа св х формулой:
- •Вопрос14.Повторные независимые испытания. Ф-ла Бернулли.
- •Вопрос 15.Биноминальное распределение
- •Вопрос 16.Закон Пуассона
- •Вопрос 17.Равномерной дискретное распределение
- •Вопрос18.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.
- •Вопрос 20 равномерный закон распределения
- •Вопрос 22 Нормальный закон распределения, его параметры и их вероятностный смысл. Влияние параметров а и б на форму нормальной кривой.
- •Вопрос 27Нерав-во Маркова
- •Вопрос 28
- •Вопрос 29
- •Вопрос 30
- •Вопрос 31 Понятие о центральной предельной теореме и ее следствиях.
- •Вопрос 32 Локальная и интегральная теоремы Лапласа как следствие теоремы Ляпунова.
- •Вопрос 32 Теорема Ляпунова
- •Вопрос 33 Предмет и задачи мат статистики, ген и выборочная совокупности, способ отбора.
- •Вопрос 34 Построение дискретного вариационного ряда. Эмпирическая ф-ия распределения.
- •Вопрос 35 Построение интервального вариационного ряда. Гистограмма частот.
- •Вопрос 36 Средняя арифметическая и ее свойства. Устойчивость выборочных средних
- •Вопрос 37 Дисперсия вариационного ряда и ее св-ва. Исправленная выборочная дисперсия.
- •Вопрос 41 Основные понятия стат проверки гипотез. Гипотезы h0 и h1, критерии проверки, ошибки первого и второго рода, критическая область, мощность критерия.
- •Вопрос 42 Проверка гипотезы о равенстве мат ожиданий 2ух нормально распределенных ген сов при известной дисперсии.
- •Вопрос 44Распределение Пирсона (или “хи”-квадрат распределение
Вопрос 28
Неравенство Чебышева
Если случ вел Х имеет М(х) и (x), то для любого
справедливо рав-во
P(|x-M(x)|<) 1-((x))/^2 (3)
Нер-во |x-M(x)|<xx^2<^2 y=(x-M(x))^2
y 0-новая случ. вел-на. M(y)=M(x-M(x))^2=(x), применяя к у нер-во(1) для = ^2, получаем
Р(У<^2) 1-((x))/^2. Но нер-во y<^2<=>|x-M(x)|<,то сразу получаем нер-во (3).
Поскольку соб-е |х-М(х)| противоположно соб-ю |x-M(x)|<, то P(|x-M(x)| ) ((x))/^2 (4)
Нер-ва (3) и (4) служат для решения задач о Р отклониния сл. вел-ны с несущественным з-ном распред-я и известными М(Х) и (x)
Первое неравенство Чебышева. Если СВ X 0 имеет конечное значение = M[X], то для любого 0 справедливо:
P{X } / или P{X < } > 1 - /.
Для наглядности проведем доказательство для СВНТ X с ПР f(x), хотя это остается справедливым и для СВДТ. Так как
Тогда P{X } /, что и требовалось показать.
Второе (основное) неравенство Чебышева. Если СВ X имеет конечные значения = M[X] и 2 = D[X], то для любого 0 справедливо:
P{X - } 2/2 или P{X - < } > 1 - 2/2.
Вопрос 29
Теорема Чебышева или закон больших чисел в форме Чебышева
Напомним, что если , ,…, попарно независимые случайные величины, имеющие М(х ) и D(х ), i=1,n, то для новой случайной величины = или = справедливо нер-во
М(х)=
Последовательность а1,а2,..,аn называется равномерно ограниченной, если |ai| c, где c-константа, не зависит от i.
Теорема: При неограниченном увеличении числа n попарно независым. случ. вел-е, имеющегося мат осн-я и равн-но ограниченной дисперсии, их ср арифметическая
стремится по вертикали к ср арифметическому их мат ожидания,т.е. к
Доказательство:
Следствие1: Если случ вел-ны , ,…, имеют равный математические ожилпния М(х )=а и равно ограничены дисперсии D(х ),то a за истинное значение измеряемой вел-ны берут ср арифметическую большого числа ее изм-ий.
Следствие2: Теорема Хинчина: Если с.в. х имеют одинаковое расп-е, т.е. М(х )=а и D(х )=r^2, то для всех i
Вопрос 30
Теорема Бернулли. Значение закона больших чисел.
Теорема: Если в-ть р наст-ия соб А в n-независимых испытаниях постоянна, то при неограниченном увеличении числа n относительная частота k/n появления события А в n испытаниях ст-ся по в-ти к вер-ти р, т.е.
Док-во: как и в биномиальном з-не распределения число к наст-я соб. А в n испытаниях может быть представлено как к= , ,…, , , где - индикатор наступления соб. А в i-ом испытании
Было д-но, М(х )=p, а D(х )=pq=c, тогда, подставляя в (6) и D(х ), получим (8)Неравенство Бернулли
Значение з-на больших чисел:
1 в физике-пос-во давления газа
2 в статистике-основа выбора метода
3 в страховании-основанно на устойчивых таблицах смертности
Вопрос 31 Понятие о центральной предельной теореме и ее следствиях.
Суть центральной предельной теоремы (ЦПТ) в след.:
Если с.в х представляет собой сумму оч. большого числа взаимно независимых случ. в-н, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то х имеет расп-е, близкое к нормальному. Центральная предельная теорема (ЦПТ) ( в формулировке Ляпунова А.М. для одинаково распределенных СВ). Если попарно независимые СВ X1, X2, ..., Xn, ... имеют одинаковый закон распределения с конечными числовыми характеристиками M[Xi] = и D[Xi] = 2, то при n закон распределения СВ неограниченно приближается к нормальному закону N(n, ).
Следствие. Если в условии теоремы СВ , то при n закон распределения СВ Y неограниченно приближается к нормальному закону N(, / ).
(Не до конца,?????)