- •1.Основные понятия и факты, связанные с д.У.
- •2.Существование,единственность и приближённое решение задачи Коши.
- •3. Д.У.,описывающие физические процессы (радиоактивный распад, гармонические колебания, падение тела и др.)
- •4.Приближенное построение интегральных кривых с помощью изоклин.
- •5.Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, сводящиеся к ним.
- •6.Линейные уравнения 1-го порядка.
- •7.Уравнения Бернулли и Риккати.
- •8.Уравнения в полных дифференциалах.
- •9.Интегрирующий множитель.
- •12.Уравнения Клеро и Лагранжа.
- •13.Уравнения высших порядков. Важнейшие случаи, допускающие решение в квадратурах либо понижение порядка.
- •14.Системы д.У. Метод исключения. Общий интеграл.
- •15.Линейные однородные уравнения в частных производных. Задача Коши.
- •16.Квазилинейные уравнения в частных производных. Задача Коши.
- •17.Линейная зависимость функций и вронскиан.
- •18.Линейные однородные уравнения. Линейная зависимость решений. Вронскиан решений.
- •19.Существование фундаментальной системы решений.
- •20.Формула общего решения линейного однородного уравнения.
- •21.Восстановление линейного однородного уравнения по ф.С.Р.
- •22.Формула Остроградского-Лиувилля.
- •23.Нахождение ф.С.Р. В случае постоянных коэффициентов уравнения.
- •24.Метод Лагранжа для линейных уравнений.
- •25.Метод неопределённых коэффициентов для линейных уравнений.
- •26.Линейные уравнения Эйлера.
- •27.Линейные однородные системы. Линейные системы.
- •29.Метод Лагранжа для линейных систем.
- •30.Метод неопределённых коэффициентов для линейных систем.
- •31.Задачи Коши и краевые задачи для линейных уравнений и систем.
- •32.Голоморфные решения линейных уравнений и систем.
- •33.Устойчивость решений. Система 1-го приближения. Критерий Рауса-Гурвица.
- •34.Фазовая плоскость. Обоснование одной(любой) из фазовых картин.
- •35.Линейные интегральные уравнения 2-го рода. Случай вырожденного ядра.
- •36.Задачи вариационного исчисления и понятие о способах их решения.
6.Линейные уравнения 1-го порядка.
― линейное уравнение ― уравнение такого вида
― коэффициент уравнения
― правая часть, (неоднородность уравнения), свободный член.
― ?
. ― линейный оператор
- однородное
- неоднородное.
Свойства линейных уравнений:
Общее решение неоднородного линейного уравнения ― сумма общего решения однородного линейного уравнения и некоторого частного решения неоднородного .
Сумма частных решений однородного линейного уравнения ― решение однородного линейного уравнения.
Однородное линейное уравнение , ,
( ― некая константа , )
Т.к. , то . Обозначим .
― общее решение однородного линейного уравнения
Неоднородное линейное уравнение . Для решения неоднородного линейного уравнения существуют разные методы (читать учебники).
Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной):
нужно подобрать.
.
Нужно еще обосновать, что других решений нет
7.Уравнения Бернулли и Риккати.
Уравнения, сводящиеся к линейным:
― уравнение Бернулли
Если , то линейное неоднородное, , то линейное однородное .
Далее .
. Делим уравнение Бернулли на :
.
― уже линейное уравнение
― линейное уравнение относительно .
― уравнение Риккати
Можно свести к уравнению Бернулли, если известно некоторое частное решение .
― уравнение Бернулли
Не существует общего метода нахождения частного решения уравнения Риккати , поэтому в общем случае уравнение Риккати не решается в квадратурах.
Частный случай уравнения Риккати:
.
.
При нужно искать другие частные решения.
При выбираем 1 частное решение.
8.Уравнения в полных дифференциалах.
―предположим, что эти функции определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой односвязной области (нет дырок)
Определение: Уравнение называется уравнением полных дифференциалов, если такая, что .
Уравнение можно записать в виде: ―решение.
Теорема: Для того чтобы , для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы
Из этих рассуждений видно, что решение задачи с уравнением полных дифференциалов сводится к нахождению .
9.Интегрирующий множитель.
Предположим, что уравнение ―не уравнение полных дифференциалов
Определение: Интегрирующим множителем для уравнения назовем , после умножения на которую уравнение становится полным дифференциалом.
Общего метода для нахождения интегрируемого множителя нет. Существуют различные методы:
1)
2) ,
3) .
10.Уравнения вида , y= .
Если уравнение разрешено относительно , т.е. , то это частный случай .
1) ― неполное уравнение, разрешенное относительно ,
(Т.к. не входит )
Вводим параметры: ― параметрический вид
(Параметр ― вспомогательная независимая переменная)
ответ:
2) ― неполное уравнение, разрешенное относ.
Ответ:
11.Уравнения вида , y= .
3) ― уравнение, разрешенное относительно
.
Ответ: ― решение , (параметрическое)
4) ― уравнение, разрешенное относительно
,
Ответ: