- •1.Основные понятия и факты, связанные с д.У.
- •2.Существование,единственность и приближённое решение задачи Коши.
- •3. Д.У.,описывающие физические процессы (радиоактивный распад, гармонические колебания, падение тела и др.)
- •4.Приближенное построение интегральных кривых с помощью изоклин.
- •5.Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, сводящиеся к ним.
- •6.Линейные уравнения 1-го порядка.
- •7.Уравнения Бернулли и Риккати.
- •8.Уравнения в полных дифференциалах.
- •9.Интегрирующий множитель.
- •12.Уравнения Клеро и Лагранжа.
- •13.Уравнения высших порядков. Важнейшие случаи, допускающие решение в квадратурах либо понижение порядка.
- •14.Системы д.У. Метод исключения. Общий интеграл.
- •15.Линейные однородные уравнения в частных производных. Задача Коши.
- •16.Квазилинейные уравнения в частных производных. Задача Коши.
- •17.Линейная зависимость функций и вронскиан.
- •18.Линейные однородные уравнения. Линейная зависимость решений. Вронскиан решений.
- •19.Существование фундаментальной системы решений.
- •20.Формула общего решения линейного однородного уравнения.
- •21.Восстановление линейного однородного уравнения по ф.С.Р.
- •22.Формула Остроградского-Лиувилля.
- •23.Нахождение ф.С.Р. В случае постоянных коэффициентов уравнения.
- •24.Метод Лагранжа для линейных уравнений.
- •25.Метод неопределённых коэффициентов для линейных уравнений.
- •26.Линейные уравнения Эйлера.
- •27.Линейные однородные системы. Линейные системы.
- •29.Метод Лагранжа для линейных систем.
- •30.Метод неопределённых коэффициентов для линейных систем.
- •31.Задачи Коши и краевые задачи для линейных уравнений и систем.
- •32.Голоморфные решения линейных уравнений и систем.
- •33.Устойчивость решений. Система 1-го приближения. Критерий Рауса-Гурвица.
- •34.Фазовая плоскость. Обоснование одной(любой) из фазовых картин.
- •35.Линейные интегральные уравнения 2-го рода. Случай вырожденного ядра.
- •36.Задачи вариационного исчисления и понятие о способах их решения.
26.Линейные уравнения Эйлера.
Т.е. ― линейное неоднородное уравнение с особыми .
― важен интервал. Тогда можно разделить на .
Однородное уравнение Эйлера:
Определение: Определяющее уравнение для однородного уравнения
Эйлера ― следующее:
― многочлен степени относительно .
линейного однородного уравнения надо знать фундаментальную систему решений.
Теорема: Для того, чтобы найти фундаментальную систему решений , надо найти корни соответствующего уравнения вместе с их кратностями. Далее каждому корню следует сопоставить функции: , где ― кратность .
Каждой паре комплексных сопряженных корней уравнения следует сопоставить функции
где ― кратность корней .
Фундаментальную систему решений образуют функции, сопоставленные указанным образом всем корням и всем парам корней .
Для решения неоднородных уравнений Эйлера не существует универсальных методов: либо методом Лагранжа, либо неопределенных коэффициентов ― с соответствующими видоизменениями (сначала заменой ― линейное неоднородное уравнение).
27.Линейные однородные системы. Линейные системы.
(1)
?
, ; ; (1’)
Если то (1) называется однородной системой, иначе называется неоднородной.
1.однородные системы
(2)
(3)
Опр: Векторы (3) наз. лин. Зависимыми если существуют такие не все равные нулю, что . Если это равенство справедливо лишь при , то векторы называются лин. не зависимыми.
Опр: фундаментальной системой решений системы (2) наз. совокупность n лин. нез. вект. является ее решениями
Опр: определителем Вронского или вронскианом (3) наз. определитель
обозначение Δ,Δ(x),
Теор1: пусть векторы (3) лин. зав. на I тогда Δ(x)≡0
Теор2: пусть векторы (3) реш. сист. (2) тогда справедливо одно и только одно утв.
А)Δ(x)≡0 (равносильно (3) л.з.)
B) (3) лин. независимо)
Теор3: общее решение (2) имеет вид, где постоянные произведения, действительных - ФСР (2)
28.Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами.(n=3)
,
― фундаментальная система решений системы ( ― вектор !)
― общее решение .
Формулы для фундаментальной системы решений разные в зависимости от :
Собственные значения . Можно указать три линейно независимых собственных вектора матрицы . Тогда ― собственные значения , соответствующие ( не обязательно различны)
Собственные значения . Можно указать три линейно независимых вектора
― собственные векторы , ― присоединенный вектор к собственному вектору . Тогда . , где ― собственные значения, отвечающие соответствующим и .
Собственные значения . Можно указать три линейно независимых вектора .
― собственный вектор , ― соответственно 1,2 присоединенные векторы к . Тогда .
― собственное значение, соответствующее .
Пусть у существует одно собственное значение , два комплексно сопряженных собственных значения .
― какой-либо собственный вектор, отвечающий .
― какой-либо собственный вектор, отвечающий .
Тогда .
Для реализуется ровно 1 из 4 случаев.