15.Линейные однородные уравнения в частных производных. Задача Коши.

1. Линейные однородные уравнения

определены в хотя бы одно . Пусть .

Определение: Системой в симметрической форме, соответствующей уравнению (1), называется система дифференциальных уравнений следующего вида:

Придадим ей следующий вид:

Теорема 1: Для того, чтобы была решением (1), необходимо и достаточно, чтобы была интегралом (2).

Теорема 2: Формула общего решения (1) имеет вид , где – независимые интегралы системы (2), а – произвольная дифференцируемая функция.

16.Квазилинейные уравнения в частных производных. Задача Коши.

Квазилинейные уравнения.

Решать будем в неявном виде

Продифференцируем (5) по

Решив (6), найдем она и будет решением. Общее решение уравнения (4): , где произвольная дифференцируемая функция, независимый интеграл системы в симметричной форме, соответствующей (6).

Определение: Начальное условие для (1) и (4) – следовательно, дополнительное условие: ,

наперед заданное число, принадлежащее , наперед заданная функция.

(1), (8) или (4), (8) – задача Коши.

17.Линейная зависимость функций и вронскиан.

Определение: Функции , определенные на интервале , называются линейно зависимыми на , если не все равные нолю, такие что Если же тождество справедливо лишь при , то функции линейно независимы.

Определение: Определитель Вронского раз дифференцируемых функций следующий определитель :

Теорема: Если линейно зависимы и на , то .

Следствие: линейно независимы.

Следствие: Многочлены равны равны коэффициенты при одинаковых степенях .

18.Линейные однородные уравнения. Линейная зависимость решений. Вронскиан решений.

коэффициенты уравнения; непрерывны.

Краткая запись (1): . линейный оператор. .

Т.к. справа ноль, то уравнение однородное.

Свойства:

1. решение (1)

2. Линейная комбинация с любыми коэффициентами любых решений (1) – решение (1).

3. решение уравнения (1), такое, что .

Теорема 1: Пусть решения уравнения (1); Тогда линейно зависимы.

Доказательство:

Определитель этой системы –

Тогда существует нетривиальное решение. Выберем конкретное нетривиальное решение системы . По свойству 2 тоже решение. Выберем . Наше решение в точке удовлетворяет начальным условиям. С другой стороны, тоже удовлетворяет условию . По свойству 3 . Т. к. не все , то линейно зависимы, ЧТД.

Теорема 2. Пусть – решение (1). Тогда справедливо ровно 1 из следующих утверждений:

1.

2.

Доказательство: Обоснуем, что не может где-то , а где-то не равняться.

Пусть . Тогда линейно зависимы, т. е. линейно независимы.

От противного. Если бы были линейно зависимы, то по теореме из предыдущего вопроса . Если бы то линейно зависимы. линейно зависимы. От противного. От противного

19.Существование фундаментальной системы решений.

Определение: Фундаментальной системой решений (1) называется совокупность его линейно независимых решений.

Теорема 3. Для уравнения (1) существует фундаментальная система решений.

Доказательство: Возьмем числа . Потребуем, чтобы . Обозначим такие решения (1), для которых . По свойству 3 с любыми начальными условиями решение в существует. Тогда По теореме 2 линейно независимы, т.е. фундаментальная система решений.

1. (замечания) общего метода для нахождения фундаментальной системы решений не существует.

2. Каждое (1) имеет бесконечное количество фундаментальных систем решений.

3. Частный случай (1): когда – числа

Определение: Характеристическим уравнением для (2) называется следующее выражение: , где – характеристический многочлен (2):

.

Свойства (и для любого многочлена):

1. с точностью до порядка множителей представление в виде следующих произведений: , где попарно различные, вообще говоря, комплексные числа, которые называются корнями многочлена, а кратности корней, причем степень многочлена. (Основная теорема алгебры)

2. кратность корня , причем

3. Два любых комплексно-сопряженных числа одновременно либо не являются корнями , либо являются, причем одинаковой кратности.

Теорема 4. Фундаментальную систему решений (2) образуют функции, сопоставленные всем действительным корням и всем парам комплексно-сопряженных корней соответствующих корням многочлена, следующим образом:

Если корень кратности , то ему следует сопоставить .

1. Если – пара комплексно-сопряженных корней кратности , то им следует сопоставить – для – для

Теорема 7. – линейно независимые функции. . Тогда уравнение вида (1), для которого эти функции являются фундаментальной системой решений.