- •1.Основные понятия и факты, связанные с д.У.
- •2.Существование,единственность и приближённое решение задачи Коши.
- •3. Д.У.,описывающие физические процессы (радиоактивный распад, гармонические колебания, падение тела и др.)
- •4.Приближенное построение интегральных кривых с помощью изоклин.
- •5.Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, сводящиеся к ним.
- •6.Линейные уравнения 1-го порядка.
- •7.Уравнения Бернулли и Риккати.
- •8.Уравнения в полных дифференциалах.
- •9.Интегрирующий множитель.
- •12.Уравнения Клеро и Лагранжа.
- •13.Уравнения высших порядков. Важнейшие случаи, допускающие решение в квадратурах либо понижение порядка.
- •14.Системы д.У. Метод исключения. Общий интеграл.
- •15.Линейные однородные уравнения в частных производных. Задача Коши.
- •16.Квазилинейные уравнения в частных производных. Задача Коши.
- •17.Линейная зависимость функций и вронскиан.
- •18.Линейные однородные уравнения. Линейная зависимость решений. Вронскиан решений.
- •19.Существование фундаментальной системы решений.
- •20.Формула общего решения линейного однородного уравнения.
- •21.Восстановление линейного однородного уравнения по ф.С.Р.
- •22.Формула Остроградского-Лиувилля.
- •23.Нахождение ф.С.Р. В случае постоянных коэффициентов уравнения.
- •24.Метод Лагранжа для линейных уравнений.
- •25.Метод неопределённых коэффициентов для линейных уравнений.
- •26.Линейные уравнения Эйлера.
- •27.Линейные однородные системы. Линейные системы.
- •29.Метод Лагранжа для линейных систем.
- •30.Метод неопределённых коэффициентов для линейных систем.
- •31.Задачи Коши и краевые задачи для линейных уравнений и систем.
- •32.Голоморфные решения линейных уравнений и систем.
- •33.Устойчивость решений. Система 1-го приближения. Критерий Рауса-Гурвица.
- •34.Фазовая плоскость. Обоснование одной(любой) из фазовых картин.
- •35.Линейные интегральные уравнения 2-го рода. Случай вырожденного ядра.
- •36.Задачи вариационного исчисления и понятие о способах их решения.
12.Уравнения Клеро и Лагранжа.
5) Частный случай (6)
― уравнение Клеро.
- общее решение уравнения Клеро
особое решение уравнения Клеро
6) ― уравнение Лагранжа (частный случай )
― линейное уравнение
13.Уравнения высших порядков. Важнейшие случаи, допускающие решение в квадратурах либо понижение порядка.
― уравнение порядка , разрешенные относительно старшей производной.
Обычно решение ― совокупность функций, зависящих от произвольных постоянных. .
Общее решение: .
Частное решение ― общее с конкретными .
Особое решение ― которое не получается из общего приданием значений константам.
Дополнительные условия:
― начальные условия.
, ― задача Коши
Теорема: Пусть в некоторой окрестности точки являются непрерывными функции . Тогда в некоторой окрестности точки единственное решение задачи Коши.
Далее ― о частных случаях.
или
1)
Ответ:
2) Предположим, что в , тогда –уравнение в точных производных. – не обязательно решается, но лучше тем, что порядок его на единицу меньше. В общем случае неизвестно, как находить .
3) Пусть в у существует свойство: . . Свойство однородности функции относительно ( – степень однородности). Тогда порядок (3) можно понизить на 1.
Замена: ,
…
- решается не всегда.
4)
.
Проинтегрировав раз, получим решение. Но решение для может быть другим: в неявном виде, параметрическом виде
5)
(или параметрически). Вместо – .
14.Системы д.У. Метод исключения. Общий интеграл.
уравнений с неизвестными. .
Формы записи:
1. Нормальная: (1)
2. Симметричная:
(2)
– система уравнений.
Легко переводятся одна в другую:
из (2) в (1):
из (1) в (2): .
Решение – совокупность функций, в этой совокупности присутствуют производных постоянных: .
Константы – одни и те же для любых .
Начальные условия: (3).
((1) или (2)) и (3) – задача Коши.
Теорема: Пусть в окрестности точки существуют и непрерывны . Тогда в некоторой окрестности решение задачи Коши (1), (3).
Метод исключения.
После исключения получаем уравнение большего порядка. Не всегда можем исключать функции. Общий случай для этого метода.
. Дифференцируем:
Получим штук равенств, которые связывают Будем исключать Выберем из равенства №1, подставляем во все остальные равенства. Выбираем из равенства №2, подставляем во все остальные. Получаем дифференциальное уравнение -го порядка (будет содержать ).
Определение: интеграл системы (1) – непрерывная дифференцируемая функция , дифференциал которой, вычисленный в силу системы (1), тождественно равен нолю, т. е. [вычисленный в силу системы – значит, что находят из равенств системы (1), т.е. ]=
.
Определение: Первый интеграл системы (1) – соотношение , где – интеграл системы (1), а .
Определение: Интегралы системы (1) – независимые, если .
Определение: Общий интеграл системы (1) – совокупность его первых интегралов , для которых соответствующие интегралы независимы.
Система (1) считается решенной, если найден её общий интеграл. (Общий интеграл – аналог решения в неявном виде.) Общий интеграл удобно находить для систем в симметричной форме, т. к. тогда удобно использовать свойство равных дробей:
Если , то для .