29.Метод Лагранжа для линейных систем.

Сначала надо узнать фундаментальную систему решений соответствующей

( знаем соответствующую ).

Тогда . Надо найти .

Для матриц и .

Пусть ― фундаментальная система решений ( состоит из них).

― равенства столбцов.

Возьмем левые части равенств, сформируем из них матрицу. Получим . Сформируем матрицу из правых столбцов. вынесем за знак матрицы. Справа будет .

.

Тогда

У фундаментальной матрицы всегда существует (т.к. , а для фундаментальной системы решений (по т.3, а фундаментальная система решений ― линейно независима), т.е. существует ).

Домножим слева на .

.

Осталось обосновать, что ― все решения.

30.Метод неопределённых коэффициентов для линейных систем.

в этом случае общее решение системы в векторной форме записывается в виде y=C1y1+C2y2+…+Cnyn+yчастное.

частное решение находится по-разному в зависимости от вектора f(x). Есть 2 подходящих случаяf(x):

где - действительноечисло, P()-многочлены степеней соответственно m. В этом случае:

где R(х) многочлены степени m+k, m=max(m1,m1…mn), а число к полагается равным нулю, ели число не является собственным значением соответствующей матрицы А, и полагается равным кратности этого собственного значения в противном случае.

31.Задачи Коши и краевые задачи для линейных уравнений и систем.

ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной

Система n ОДУ первого порядка, разрешённая относительно производных (нормальная система n-го порядка)

ОДУ n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при t = 0, а решение отыскивается при t > 0.

Краевая задача — дифференциальное уравнение (система дифференциальных уравнений) с заданными линейными соотношениями между значениями искомых функций на начале и конце интервала интегрирования.

Решение краевой задачи ищется в виде суммы линейной комбинации решений однородных задач Коши, соответствующих заданному уравнению при линейно независимых векторах начальных условий, и решения неоднородной задачи Коши с произвольными начальными условиями.

32.Голоморфные решения линейных уравнений и систем.

Голоморфность функции в некоторой окрестности точки х₀ означает возможность представить эту функцию степенным рядом со степенями х-х₀ сходящимися по меньшей мере в этой окрестности.

Пусть коэффициенты и свободный член уравнения y’’+p₁(x)y’+ p₂(x)y=f(x)

голоморфны в некоторой окрестности х₀ . Тогда при любых действительных числахy₀, y₀’ задача Коши для этого уравнения с начальными условиями y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y₀' имеет единственное решение, также голоморфное в той же окрестности точки и, следовательно, имеющее вид:

y=y₀+y₀’(x-x₀)+ a₂(x-x₀)²+a₃(x-x₀)³+…

Для нахождения коэффициентов а следует разложить в степенные ряды функции p подставить вместо у ряд y=y₀+y₀’(x-x₀)+ a₂(x-x₀)²+ a₃(x-x₀)³+… , вместо y₀, y₀’ производные этого ряда, полученные почленным дифференцированием, и выполнить соответствующие действия над рядами. Далее следует приравнять в левой и правой частях уравнения коэффициенты при одинаковых степенях x-x_0.. Из возникающих уравнений определяются искомые коэффициенты.