- •1.Основные понятия и факты, связанные с д.У.
- •2.Существование,единственность и приближённое решение задачи Коши.
- •3. Д.У.,описывающие физические процессы (радиоактивный распад, гармонические колебания, падение тела и др.)
- •4.Приближенное построение интегральных кривых с помощью изоклин.
- •5.Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, сводящиеся к ним.
- •6.Линейные уравнения 1-го порядка.
- •7.Уравнения Бернулли и Риккати.
- •8.Уравнения в полных дифференциалах.
- •9.Интегрирующий множитель.
- •12.Уравнения Клеро и Лагранжа.
- •13.Уравнения высших порядков. Важнейшие случаи, допускающие решение в квадратурах либо понижение порядка.
- •14.Системы д.У. Метод исключения. Общий интеграл.
- •15.Линейные однородные уравнения в частных производных. Задача Коши.
- •16.Квазилинейные уравнения в частных производных. Задача Коши.
- •17.Линейная зависимость функций и вронскиан.
- •18.Линейные однородные уравнения. Линейная зависимость решений. Вронскиан решений.
- •19.Существование фундаментальной системы решений.
- •20.Формула общего решения линейного однородного уравнения.
- •21.Восстановление линейного однородного уравнения по ф.С.Р.
- •22.Формула Остроградского-Лиувилля.
- •23.Нахождение ф.С.Р. В случае постоянных коэффициентов уравнения.
- •24.Метод Лагранжа для линейных уравнений.
- •25.Метод неопределённых коэффициентов для линейных уравнений.
- •26.Линейные уравнения Эйлера.
- •27.Линейные однородные системы. Линейные системы.
- •29.Метод Лагранжа для линейных систем.
- •30.Метод неопределённых коэффициентов для линейных систем.
- •31.Задачи Коши и краевые задачи для линейных уравнений и систем.
- •32.Голоморфные решения линейных уравнений и систем.
- •33.Устойчивость решений. Система 1-го приближения. Критерий Рауса-Гурвица.
- •34.Фазовая плоскость. Обоснование одной(любой) из фазовых картин.
- •35.Линейные интегральные уравнения 2-го рода. Случай вырожденного ядра.
- •36.Задачи вариационного исчисления и понятие о способах их решения.
33.Устойчивость решений. Система 1-го приближения. Критерий Рауса-Гурвица.
Задано начальное условие – . .
Пусть некоторое фиксированное решение (1).
Определение: Решение системы называется устойчивым (в смысле Ляпунова), если , где расстояние в -мерном пространстве. В противном случае решение называется неустойчивым.
Определение: Решение системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, кроме того,
, где
Смысл устойчивости: если чуть-чуть меняем начальные условия, то решение тоже мало меняется.
. Поэтому сразу будем считать, что (1) имеет нулевое решение . (Если нет, всегда можно сделать замену на , которое имеет нулевое решение ).
Определение: Системой 1-го приближения для системы (1) называется следующая система:
Теорема: Если все собственные значения имеют отрицательные действительные части, то нулевое решение (1) устойчиво, и притом асимптотично. Если хоть одно собственное значение имеет положительную действительную часть, то нулевое решение (1) неустойчиво. Если все действительные части нулевые, то ничего не утверждается. (Без доказательства)
– многочлен такого вида возникает при нахождении собственных значений .
Определение: Матрица Грувица многочлена (3) – следующая матрица:
где – константы (3); если .
Критерий Раусса-Гурвица:
Для того, чтобы все корни (3) имели отрицательную действительную часть, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные миноры соответствующей матрицы Гурвица. (без доказательства).
Замечание: Если хоть один главный минор матрицы Гурвица , то не все действительные части собственных значений < 0. Может случится, что все они равны 0. Тогда нельзя сделать никаких выводов из теоремы. Т.е. критерий Рауса-Гурвица “работает в одну сторону”.
Приближенное вычисление 1-го приближения: через ряды Тейлора/Макларена.
Например, . ( остаточный член)
34.Фазовая плоскость. Обоснование одной(любой) из фазовых картин.
Графики решений (интегральные кривые) .
Определение:
Фазовая плоскость системы (1) – пространство переменных
Фазовая траектория системы (1) – проекция любой интегральной кривой этой системы на фазовую плоскость.
Фазовая картина системы (1) – совокупность всех её фазовых траекторий.
В зависимости от свойств матрицы системы (1) существуют 9 различных фазовых картин. Они зависят от собственных значений матрицы . находятся как корни квадратного уравнения. Будем считать, что корней всегда 2, но, быть может, они совпадают. Начало координат – всегда одна из фазовых траекторий (соответствующих нулевому решению): .
Для обоснования следует решить систему (1). Получим явные выражения функций:
Эти формулы – уравнения для фазовых траекторий в параметрическом виде, где – параметр.
Обоснуем пункт 6 (дикритический узел):
, 2 линейно независимых собственных вектора. Из линейной алгебры: только для матрицы вида справедливы такие свойства. Значит,
отвечает своя фазовая траектория.
Если то – начало координат (самостоятельная фазовая траектория).
полуоси – фазовые траектории.
фазовые траектории в I четверти.
При (оба ):
И т. д.