6 7Б 3ч 4б 6ч 2б 8ч . Формула полной вероятности

1 2 3

Испытание: из наудачу взятой урны наугад извлекаем шар. Найти: вероятность того, что он белый. Событие А – белый шар. Р(А)-? Введем 3 предположения – гипотезы(Н): Н₁ – шар извлекается из 1 урны; Н₂ – из 2 урны; Н₃ – из 3 урны. Р(Н₁) = Р(Н₂) = Р(Н₃) = 1/3 – гипотезы являются равновозможными. Тогда Р(А) = Р(Н₁*А+Н₂*А+Н₃*А) – события несовместные. Р(А) = Р(Н₁*А)+Р(Н₂*А)+Р(Н₃*А) = Р(Н₁)*Р(А/ Н₁)+ Р(Н₂)*Р(А/ Н₂)+ Р(Н₃)*Р(А/ Н₃) = 1/3*7/10+1/3*4/10+1/3*2/10 = (7+4+2)/30 = 13/30

Отметим, что гипотезы являются несовместными событиями, одно из которых обязательно реализуется в результате испытания. Сумма вероятностей гипотез равна единице. Вложим данный пример в общую схему: пусть интересующее нас событие А может появиться совместно с одной из n взаимноисключающих гипотез. Тогда рассуждая аналогично рассмотренному примеру, используя теоремы сложения и умножения вероятностей получим следующую формулу : Р(А) = Р(Н₁)*Р(А/ Н₁)+ Р(Н₂)*Р(А/ Н₂)+…+ Р(Н_n)*Р(А/ Н_n)

7. Формула Байеса

7б

3ч

2б

8ч

Из наудачу взятой урны извлекаем шар. Известен результат испытания: событие А – белый шар. Н₁- шар извлекается из 1 урны. Н₂ – из 2 урны. В этой ситуации гипотезы Н₁и Н₂ не являются равновозможными, т.к. в 1 урне намного больше белых шаров, поэтому вероятность извлечения из 1 урны больше, чем из 2.

Вложим данную задачу в следующую общую схему: пусть интересующее нас событие А может появиться совместно с одной из n взаимноисключающих гипотез Н₁, Н₂, …, Н_n и испытание произвели и известен результат испытания – событие А. Найти вероятности Н_k при известном событии А. (Р(Н_k/А)-?)

Справедлива след.формула: формула Байеса

Р(Н_k*А)= Р(Н_k) * Р(А/Н_k) и Р(Н_k*А)= Р(А)*Р(Н_k/А) => Р(Н_k) * Р(А/Н_k) = Р(А)*Р(Н_k/А) =>

Вернемся к примеру: Р(Н₁/А) = =

8.Схема с повторением испытаний (схема Бернулли)

Рассмотрим след.часто встречающуюся ситуацию:

1. Проводится n-независимых испытаний. Независимость испытаний означает, что в каждом следующем испытании полностью воспроизводится весь комплекс условий, при которых проводилось предыдущее испытание. 2. Интересующее нас событие А в каждом испытании может появиться с одной и той же вероятностью р и не появиться с вероятностью q=1- p Такая ситуация называется схемой повторения испытаний или схемой Бернулли.

Назовем событие А успехом и обозначим через ξ(кси) – число успехов в серии n-независимых испытаний. Очевидно кси может принимать значения 0,1,2, …, n. Как найти вероятности этих значений? Р(ξ=k)-? k=0,1,2… n Справедлива формула:

Пример: бросаем монету 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет 3 раза. А – выпадение герба(успех), ξ- число успехов = 3, n=10 (число испытаний), р=1/2 (вероятность успеха), q = 1-1/2=1/2.

12. Числовые характеристики св. Математическое ожидание.

Пусть с испытанием связана дискретная СВ ξ(кси). Закон распределения имеет вид – ξ: ,

Тогда математическим ожиданием СВ ξ(кси) называется сумма произведений значений СВ на их вероятности и обозначается М[ξ] или m_ξ=х₁*Р₁+х₂*Р₂+…+х_n*Р_n

Мат.ожидание характеризует центральное значение СВ с учетом возможных значений и вероятностей этих значений. Наименее вероятные значения СВ вносят малый вклад в формирование мат.ожидания. Наиболее вероятные значения СВ вносят больший вклад в формирование мат.ожидания.

Св-ва мат.ожиданий:

1) М[a] = a (а – неслучайная величина – const) Мат.ожид.неслучайной величины=самой величине.

2) М[aξ] = a М[ξ] – постоянный множитель можно вынести за знак мат.ожидания.

3) М[ξ+η] = М[ξ]+М[η] мат.ожидание суммы СВ равно сумме мат.ожиданий.

4)М[ξ*η] = М[ξ]*М[η], если ξ и η – статистически независимы

Доказательства:

1) а:[ ; m_a= a*1= a