- •1.Классическое определение вероятности
- •2.Геометрическое определение вероятности
- •6 7Б 3ч 4б 6ч 2б 8ч . Формула полной вероятности
- •8.Схема с повторением испытаний (схема Бернулли)
- •12. Числовые характеристики св. Математическое ожидание.
- •49. Интервальные оценки параметров распределения
- •18.Биномиальный закон распределения вероятности
- •19. Равномерный закон распределения случайных величин
- •36.Классификация смо
- •38. Время обслуживания.
- •39. Смо с отказами.
- •22 .Показательный закон
- •40 Система уравнений Эрланга
- •41 Установившийся режим работы смо
- •43 Смо с ограниченной очередью ожидания
- •23.Нормальный закон
- •21.Поток событий
- •13. Дисперсия и ско, свойства
- •14. Плотность вероятности непрерывной св
- •15.Функция распределения случайной величины.
- •16.Связь между f(X) и f(X) для непрерывной св.
- •Вопрос 32: теорема Бернулли.
- •Вопрос 33:Центральная предельная теорема.
- •Вопрос 35: Основные элементы смо.
- •Вопрос 34: Доказательство интегральной формулы Муавра-Лапласа.
41 Установившийся режим работы смо
Примем за начальный момент времени начало работы СМО.
Очевидно Р0(0) = 1, Р1(0) = Р2(0) =…= Рn(0) =0
Далее с течением времени вероятности состояний меняются в соответствии с системой уравнений Эрланга. Анализ системы Эрланга показывает, что это изменение носит характер, указанный на рисунке. В течение небольшого периода времени после начала работы СМО вероятности состояний могут сильно меняться. Этот период называется переходным режимом работы СМО. С течением времени вероятности состояний стабилизируются, становятся практически постоянными. Этот период называется установившимся режимом работы СМО.
P0(t) P1 (t) Pn(t)
1 1 1
P P
P
0 t 0 t t
Вероятности состояний в установившемся режиме называются финальными вероятностями:
P0, P1, … , Pn.
Для практики представляет интерес анализ работы СМО главным образом в установившемся режиме. Мы знаем, что производная постоянной равна нулю. Поэтому в установившемся режиме
= =…= = 0
42.Показатели эффективности для СМО с отказом.
Показатели эффективности для СМО с отказами:
Р0 – вероятность простоя СМО, то есть вероятность того, что все каналы обслуживания свободны.
Р ОТК – вероятность отказа, то есть вероятность того, что требование, поступившее в СМО застанет все каналы обслуживания занятыми и покинет его, то есть процент требований, получивших отказ и покидающих СМО.
А – абсолютная пропускная способность СМО, то есть среднее число требований, которое может обслужить СМО, за единицу времени.
Р обс – Вероятность обслуживания или относительная пропускная способность, то есть отношение среднего числа требований, обслуживающих СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших требований за это же время
. – среднее число занятых каналов.
43 Смо с ограниченной очередью ожидания
СМО с ограниченной очередью ожидания удовлетворяет тем же первым четырём условиям, что СМО с отказами, а пятое условие заменяется следующим: если в момент поступления требования в СМО все каналы обслуживания заняты, требование становится в очередь и ждёт обслуживания. Число мест в очереди ограничено и равно I. требование, поступившее в момент, когда все места в очереди заняты, к обслуживанию не принимается и покидает СМО.
Из данного определения вытекает, что СМО с ограниченной очередью ожидания определяется четырьмя параметрами: ( 0).
В каждый момент времени t СМО находится в одном из следующих состояний:
о череди нет
S0- ноль занятых каналов (все каналы свободны);
S1- один канал занят, остальные свободны;
………………………………………….
Sn- n каналов заняты.
очередь есть
S n+1- n каналов заняты, одна заявка в очереди;
……………………………………………
Sn+1-n каналов заняты, I заявок в очереди.
Обозначим Pk(t)- вероятность состояния Sk в момент t (k= 0, 1, …, n+I)
Используя соображения, приведённые при выводе системы уравнений Эрланга для СМО с отказами, можно вывести систему дифференциальных уравнений для вероятностей Pk (t). Анализ этой системы показывает, что со временем Pk (t) стабилизируются, становятся практически независимыми во времени:
Pk (t) Pk = const, k=0, 1,…, n, n+1,…, n+I,
т о есть наступает установившийся режим, вероятности Р0, Р1,…,Рn+I является финальными вероятностями. Учитывая Pk (t) Pk = const, k=0, 1,…, n, n+1,…, n+I, система дифференциальных уравнений для Pk (t) в установившемся режиме, аналогично Po = P1;
P1 = 2 P2;
P2 = 3 P3;
Pn-1 = n Pn;
P0+P1+…+Pn =1 принимает вид:
P0 = P1;
P1 =2 P2;
…………………..
Pn-1 =n Pn;
Pn =n Pn+1;
Pn+1 =n Pn+2;
………………………..
Pn+I-1 =n Pn+1;
P0+P1+…+Pn+1 =1
Разрешая эту систему, получаем следующие формулы для финальных вероятностей:
=Р0 , (к = 1,…, n).
Pn+s=P0 ( S, (S = 1,…, I).
Р 0=
Где =
Просуммировав подчеркнутую в скобках геометрическую прогрессию, получим для вычисления Р0:
P0= -1 (степень)
Итак, =Р0 , (к = 1,…, n). Pn+s=P0 ( S, (S = 1,…, I).
Р0=
P0= -1 (степень)
являются расчётными формулами для вычисления предельных значений вероятностей состояний. Зная эти вероятности, можно найти основные показатели эффективности СМО с ограниченной очередью:
1. Формула P0= -1 (степень) одновременно характеризует вероятность простоя СМО ( все каналы свободны).
2. вероятность отказа в обслуживании. Заявка получает отказ, если все n каналов заняты и все I мест в очереди заняты
Pотк = Pn+1 = P0
Абсолютная пропускная способность Робс ( доля обслуженных требований, среди всех поступивших на обслуживание) равна вероятности того, что требование будет принято на обслуживание, то есть
Pобс= 1-Ротк= 1- P0
Абсолютная пропускная способность- это среднее число требований, обслуживаемых в единицу времени.
А= Робс=
Среднее число занятых каналов. Как и раньше обозначим его через . Учитывая, что абсолютная пропускная способность есть произведение на производительность одного канала, получим:
A= * ; = =
и так как , то
=
Средняя длина очереди- это математическое ожидание случайной величины L, равной длине очереди или числу требований в очереди. Очевидно, случайная величина L имеет следующий закон распределения:
L: ,
Следовательно:
= М = Pn+1+ 2Pn+2 … Pn+I
Pn+s=P0 ( S, (S = 1,…, I) получим:
= P0+ P0+…+I P0= = P0 ,
где обозначено X= . Выражение, стоящее в скобках, обозначим через S и рассмотрим два случая:
=n, тогда S=1+2+3+…+I= ;
n, тогда S=1+2x+3x2+…+IxI-1= ’= ’= =
Окончательно имеем:
= , ,
,
Среднее число требований, находящихся в системе, которое обозначим , складывается из среднего числа обслуживаемых заявок и средней длины , то есть:
+ .
Среднее время ожидания в очереди через . Если заявка стоит в очереди, то все каналы обслуживания заняты, и случайное время ожидания Тож равно: для первой заявки из очереди для второй заявки из очереди и т.д.
Поэтому Тож имеет следующий ряд распределения:
Тож: ,
Откуда
=М = + .
Просуммировав выражение в скобках так же, как и при выводе формулы
= , , получим:
= .
Из = , и = легко видеть, что
= .