- •1.Классическое определение вероятности
- •2.Геометрическое определение вероятности
- •6 7Б 3ч 4б 6ч 2б 8ч . Формула полной вероятности
- •8.Схема с повторением испытаний (схема Бернулли)
- •12. Числовые характеристики св. Математическое ожидание.
- •49. Интервальные оценки параметров распределения
- •18.Биномиальный закон распределения вероятности
- •19. Равномерный закон распределения случайных величин
- •36.Классификация смо
- •38. Время обслуживания.
- •39. Смо с отказами.
- •22 .Показательный закон
- •40 Система уравнений Эрланга
- •41 Установившийся режим работы смо
- •43 Смо с ограниченной очередью ожидания
- •23.Нормальный закон
- •21.Поток событий
- •13. Дисперсия и ско, свойства
- •14. Плотность вероятности непрерывной св
- •15.Функция распределения случайной величины.
- •16.Связь между f(X) и f(X) для непрерывной св.
- •Вопрос 32: теорема Бернулли.
- •Вопрос 33:Центральная предельная теорема.
- •Вопрос 35: Основные элементы смо.
- •Вопрос 34: Доказательство интегральной формулы Муавра-Лапласа.
49. Интервальные оценки параметров распределения
Два распределения, связанные с нормальным распределением.
Введем 2 утверждения:
1. Если СВ ξ1, ξ2, … ξn независимы и нормальны с параметрами (0, 1), то СВ Х2 (хи квадрат) = ξ12+ ξ22+…+ ξn2 имеет распределение, плотность которого дается формулой n/2>1
Р аспределение Х2 или распределение Пирсона
2 . Если СВ ξ1, ξ2, … ξn независимы и нормальны с параметрами (0, 1), то СВ имеет распределение, плотность вероятности которого дается формулой
Распределение Стьюдента
Квантиль распределения.
Пусть с испытание связана СВ ξ с функцией распределения F(x). Предположим, что F(x) монотонна и непрерывна (график)
Квантилем уровня Р называется корень уравнения F(x)=Р. Обозначим этот корень через Хр Из определения функции распределения вытекает: F(Хр)=P(ξ <Хр)=P Далее у нас будут использованы квантили распределения Х2 Пирсона и распределения Стьюдента.
Они обозначаются: Х2р(n) – квантиль распределения Пирсона уровня Р с n-степенями свободы.
tp(n) - квантиль распределения Стьюдента с n-степенями свободы.
Для этих квантилей составлены таблицы
Доверительные интервалы для мат.ожидания и дисперсии.
Пусть с испытанием связана СВ ξ с неизвестными параметрами (а; Д) и пусть по выборке найдены оценки этих параметров и S2 Зададимся некоторым числом р (0;1). Тогда справедливо следующее утверждение: Теорема. В указанной ситуации при достаточно большом объеме выборки с вероятность Р выполняются следующие неравенства:
n – объем выборки
- квантиль распределения Стьюдента
- квантиль распределения Пирсона
Построенные интервалы называются доверительными интервалами с уровнем доверия Р
18.Биномиальный закон распределения вероятности
Обычно нас интересует лишь общее число успехов, достигнутых в последовательности из n испытаний Бернулли, а не порядок следования успехов. В этом смысле мы не делаем различий между событиями, состоящими, например, из последовательностей и т.д.
Событие “n испытаний привели m раз к успеху” содержит столько элементарных событий, сколькими способами можно распределить m символов по n местам, что совпадает с числом сочетаний из n элементов по m. Другими словами, пространство элементарных событий состоит из точек, каждая из которых, по определению, имеет вероятность .
Следовательно, вероятность m успехов ( ) в серии из n испытаний Бернулли описывается формулой
где p – вероятность успеха; q – вероятность неудачи в одном испытании (q = 1 – р).
Согласно существующей терминологии, число успехов в серии из n испытаний является случайной величиной, а формула (*) описывает распределение этой случайной величины и называется биномиальным законом распределения вероятности.Заметим, что выражение представляет собой m-ый член биномиального разложения .
Следовательно,
как того и требует понятие вероятности.Выражение, содержащее произведение вида представляет собой вероятность m успехов в серии из n испытаний Бернулли:
Заметим, что события
– 0 успехов,
– 1 успех,
– 2 успеха,
– …
– n успехов в серии из n испытаний Бернулли
образуют полную группу событий, поскольку они попарно несовместимы и вместе образуют достоверное событие.
Частные случаи.
– Вероятность того, что в серии из n испытаний успех не наступит ни разу, равна .
– Вероятность наступления хотя бы одного успеха в серии из n испытаний равна