5.2. Линейное программирование

Задачами линейного программирования (ЛП) называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств и для которых методы математического анализа оказываются непригодными. ЛП представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. В сфере лесного комплекса к их числу относятся задачи:

• рациональное использование сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;

• оптимизации производственной программы предприятий;

• оптимального размещения и концентрации производства;

• на составление оптимального плана перевозок, работы транспорта;

• управления производственными запасами;

• и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Так по оценкам американских экспертов около 75% от общего числа применяемых оптимизационных методов приходится на ЛП. Около четверти машинного времени, затраченного в последние годы на проведение научных исследований, было отведено решению задач ЛП и их многочисленных модификаций.

5.2.1. Постановка задачи и применение в лесном деле

Постановка практической задачи ЛП включает следующие основные этапы: определение показателя эффективности, переменных задачи, задание линейной целевой функции W(x), подлежащей минимизации или максимизации, функциональных h_k(x), g_j(x) и областных x_li <x_i <x_ui ограничений.

 Пример 5.1. Оптимизация размещения побочного производства лесничества

Лесничество имеет 24 га свободной земли под паром и заинтересовано извлечь из нее доход. Оно может выращивать саженцы быстрорастущего гибрида новогодней ели, которые достигают спелости за один год, или бычков, отведя часть земли под пастбище. Деревья выращиваются и продаются в партиях по 1000 штук. Требуется 1.5 га для выращивания одной партии деревьев и 4 га для вскармливания одного бычка. Лесничество может потратить только 200 ч. в год на свое побочное производство. Практика показывает, что требуется 20 ч. для культивации, подрезания, вырубки и пакетирования одной партии деревьев. Для ухода за одним бычком также требуется 20 ч. Лесничество имеет возможность израсходовать на эти цели 6 тыс. руб. Годовые издержки на одну партию деревьев выливаются в 150 руб. и 1,2 тыс. руб. на одного бычка. Уже заключен контракт на поставку 2 бычков. По сложившимся ценам, одна новогодняя ель принесет чистый доход в 2,5 руб., один бычок - 5 тыс. руб.

Постановка задачи.

1. В качестве показателя эффективности целесообразно взять доход за операцию (годовой чистый доход с земли в рублях).

2. В качестве управляемых переменных задачи следует взять:

x₁ - количество откармливаемых бычков в год;

x₂ - количество выращиваемых партий быстрорастущих новогодних елей по 1000 шт. каждая в год.

3. Целевая функция:

5000 x₁ + 2500 x₂  max,

где

5000- чистый доход от одного бычка, руб.;

2500 - чистый доход от одной партии деревьев (1000 шт. по 2,5 руб.).

4. Ограничения:

4.1. По использованию земли, га:

4 x₁ + 1,5 x_{2 } 24.

4.2. По бюджету, руб.:

1200 x₁ + 150 x₂  6000.

4.3. По трудовым ресурсам, ч:

20 x₁ + 20 x₂  200.

4.4. Обязательства по контракту, шт.:

x₁  2.

4.5. Областные ограничения:

x₁  0, x₂  0.

 

Пример 5.2 Оптимизация программы рубок с учетом фактора биоразнообразия

Леса включают в себя приблизительно 12000 га и находятся на побережье. Приблизительно 2400 га - это устье реки или парки или используются для других рекреационных целей. Остальные 9500 га, которые состоят из 10 отдельных участков, размеры которых колеблются от 110 до 3870 га., доступны для многоцелевого использования и могут подвергаться техногенному воздействию. Участки леса находятся среди земель, на которых производится как сельскохозяйственная, так и лесная продукция. Доминирующая древесная порода - сосна: 85% лесной территории покрыты сосняками или смешанными сосновыми древостоями. Остающиеся 15% покрыты смешанными лиственными древостоями. Леса, предназначенные для многоцелевого использования, разделены на 66 выделов на основе данных последнего лесоустройства. Имеются таблицы хода роста древостоев. Планируемый 60-летний горизонт проведения лесозаготовок разделен на 3 промежутков по 20 лет каждый.

Цель управления многоцелевыми лесами заключается в максимизации выхода ликвидной древесины с учетом необходимости сохранения первозданной живой природы. Кроме того объем древесины, приблизительно равный расчетной лесосеке, полагается заданным. Лесозаготовки выполняются по сплошносечной технологии.

Решим данную проблему на примере одного из участков площадью в 360 га., состоящего из трех выделов, характеристики которых представлены в табл. 2.1. Заметим, что рассматриваемая далее технология принятия решений ввиду аналогичности целей и ограничений может быть использована и для планирования лесозаготовок по другим участкам.

Таблица 2.1.

Тип древо-стоя	Площадь, га	Запас вырубаемой древесины в будущем, м^3/га, через
		0-20 лет	21-40 лет	41-60 лет
1	100	3	10	30
2	200	12	17	20
3	60	25	20	18

1. В качестве показателя эффективности целесообразно взять годовой выход деловой древесины.

2. В качестве управляемых переменных задачи следует взять площади каждого из трех типов древостоя, которые могут быть вырублены в каждый из трех периодов, т.е. 9 переменных x_ij, где i - тип древостоя, j - период вырубки:

x₁₁ - площадь древостоя типа 1 вырубаемого в период 1, га;

x₁₂ - площадь древостоя типа 1 вырубаемого в период 2, га;

x₁₃ - площадь древостоя типа 1 вырубаемого в период 3, га;

x₂₁ - площадь древостоя типа 2 вырубаемого в период 1, га;

x₂₂ - площадь древостоя типа 2 вырубаемого в период 2, га;

x₂₃ - площадь древостоя типа 2 вырубаемого в период 3, га;

x₃₁ - площадь древостоя типа 3 вырубаемого в период 1, га;

x₃₂ - площадь древостоя типа 3 вырубаемого в период 2, га;

x₃₃ - площадь древостоя типа 3 вырубаемого в период 3, га.

3. Целевая функция:

3 x₁₁ + 12 x₂₁ + 25 x₃₁ + 10 x₁₂ + 17 x₂₂ + 20 x₃₂ + 30 x₁₃ + 20 x₂₃ + 18 x₃₃  max.

4. Ограничения:

4.1. По общей вырубаемой площади, га. Общая вырубаемая площадь в каждом типе древостоя за 3 периода не может превышать площадь типа древостоя. Это очевидное ограничение может быть формализовано следующим образом:

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃  100,

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃  200,

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃  60.

4.2. По равномерности выхода вырубаемой древесины, м³. То же самое требование налагается на объем древесины, который вырубается каждый период. С повторяющимися циклами, проблема решается получением самым возможным высоким уровнем рубки:

3 x₁₁ + 12 x₂₁ + 25 x₃₁ = 2000,

10 x₁₂ + 17 x₂₂ + 20 x₃₂ = 2000,

30 x₁₃ + 20 x₂₃ + 18 x₃₃ = 2000.