Интерполяция обобщенными многочленами.

1. Постановка задачи:

Пусть в точках x₁, x₂, … , x_n на [a,b] задано таблицей значений некоторой функции f(x). y_i=f(x_i) (i=1, 2, …, n). Задача интерполяции состоит в построении функции g, удовлетворяющей условию g(x_i)=y_i (i=1, 2, …, n).

Другими словами – надо построить функцию y, график которой проходит через заданные точки (x_i, y_i)

У казанных способ приближения функций называется интерполярным, точки x_i – узлы интерполяции.

Выбор y(x) – неоднозначен, так как по заданной таблице можно построить бесконечно много интерполярных функций. Но на практике функцию y выбирают из достаточно узкого класса функций, в котором единственность гарантирована.

2. Экстраполяция.

Пусть x_min и x_max – минимум и максимум из узлов интерполяции. В случае, когда интерполяция используется для вычисления приближенного значения функции в точках x [x_min, x_max] – то принято говорить, что осуществляется экстраполяция.

Этот метод приближения часто используется с целью прогнозирования характера протекания технических или иных процессов при значениях параметров x за пределами отрезка наблюдения. Надежность такого прогноза при значениях [, удаленных на значительное расстояние от [x_min, x_max] – невелика.

3. Задача интерполяции обобщенными многочленами.

Обобщенный многочлен Ф_m(x) назвается интерполяционным, если он удовлетворяет условию Ф_m(x_i)=y_i (i=0,1, …, n) или системе

относительно коэффициентов a₀, a₁, …, a_m. Или эту систему можно переписать в матричном виде Pa=y.

Полиноминальная интерполяция.

1. Интерполяционных многочлен.

Для заданной таблицы y_i=f(x_i) (i=0, 1, …, n) многочлен степени n называется интерполяционным алгебраическим многочленом, если они удовлетворяет условиям (i=0, 1, …, n)

2. Многочлен Лагранжа.

В практике наиболее часто используется интерполяция многочленами 1, 2 и 3 степени (линейная, квадратичная и кубическая интерполяция).

, 1 степени (1.1)

, 2 степени (1.2)

Пример. Пусть задана таблица значений функции y=lnx

x	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4
y	0	0,09531	0,18322	0,262364	0,336472

Для приближенного вычисления ln(1.23) воспользуемся линейной и квадратичной интерполяции. Пусть x₀=1,2, x₁=1,3. Вычисление по (1.1) ln(1.23) L₁(1.23) 0,206335

При квадратичной интерполяции x₀=1,1 x₁=1,2 x₂=1,3. Вычисляя по (1.2) ln(1.23) L₂(1.23) 0,207066.

Оценка погрешности интерполяции

Для нашего случая:

;

;

Тогда:

4.2. Элементы корреляционного и регрессионного анализа

Во многих задачах требуется оценить зависимость случайной величины Y от других величин. Рассмотрим наиболее простой случай зависимости случайной величины Y от одной случайной величины X. Две случайные величины могут быть связаны либо функциональной зависимостью, либо статистической, либо быть независимыми.

Две случайные величины являются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от значения, которое приняла другая.

Например, предел выносливости материала и коэффициент концентрации напряжений в опасном сечении.

Величины являются функционально зависимыми, если при известном значении одной можно точно указать значение другой. Примером функциональной зависимости можно считать напряжения и деформацию в упругодеформируемой детали. Функциональные зависимости реализуются редко, т.к. случайные величины подвержены воздействию случайных факторов. В этом случае возникает статистическая зависимость.

Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение закона распределения другой.

Статистические зависимости имеют место, когда величины зависят не только от общих для них, но и от разных случайных факторов. Например, зависимость между массой человека и его ростом.

В частности, статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой, в этом случае статистическую зависимость называют корреляционной.

Пример, с одинаковых по площади участков леса при одинаковом уходе X зафиксирован различный прирост древостоя Y. Это объясняется влиянием случайных факторов (условия внешней среды). Вместе с тем, как показывает опыт, прирост древесины Y является функцией от вида и количества рубок ухода X, т.е. Y и X связаны корреляционной зависимостью.

Полная информация о вероятностной связи двух случайных величин представляется совместной плотностью распределения f(x,y) или условными плотностями распределения f(x/y), f(y/x), т.е. плотностями распределения случайных величин X и Y при задании конкретных значений x и y соответственно.

Основными характеристиками вероятностных зависимостей являются корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционный момент (момент связи) двух случайных величин X и Y - это мат. ожидание произведения центрированных случайных величин:

К_xy =  (x_i - m_x)(y_j - m_y)p_ij, (для дискретных)

^{i j}

 

К_xy =   (x - m_x)(y - m_y)f(x,y)dxdy, (для непрерывных)

- -

где p_ij - вероятность отдельных значений x_i и y_j.

Корреляционный момент характеризует одновременно связь между случайными величинами и их рассеяние. Если случайные величины независимы, то корреляционный момент равен нулю.

Если хотя бы одна из случайных величин имеет малое рассеяние, то корреляционный момент мал даже при тесной зависимости между случайными величинами. Поэтому для выделения характеристики связи между случайными величинами переходят к коэффициенту корреляции

 = К_xy / S_xS_y,

где S_x и S_y - средние квадратические отклонения случайных величин.

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты зависимости и может изменяться в пределах от -1 до 1. Значения = 1

и  = -1 свидетельствуют о функциональной зависимости, значения = 0 свидетельствует о некоррелированности случайных величин (независимы).

При более подробном анализе вероятностной связи определяют условные мат.ожидания случайных величин m_y/x и m_x/y, т.е. мат.ожидания случайных величин X и Y при заданных конкретных значениях x и y соответственно.

Зависимость условного мат.ожидания m_y/x от x называют регрессией Y по X.

Для нормально распределенных величин Y и X уравнение регрессии Y по X имеет вид

m_y/x = m_y +  S_y/S_x (x - m_x).

Важной областью применения корреляционного анализа является обработка результатов наблюдений случайных величин X и Y, которые представлены парными значениями x_i и y_i, где i = 1, 2, ... n, а n - число наблюдений.

Оценку r коэффициента корреляции  определяют по формуле

r =  (x_i - x)(y_j - y) / (n-1)S_yS_x,

где x, y - где оценки мат.ожиданий m_x и m_y.

График зависимости мат.ожидания m_y случайной величины Y от x называется линией регрессии. Регрессионный анализ - нахождение этой зависимости по отдельным значениям величин (обычно экспериментальным точкам). Рассмотрим оценку параметров линейной регрессионной зависимости по методу наименьших квадратов. Линейная зависимость между величинами является лостаточно распространенной. Уравнение линии регрессии записывают в виде

m_y = b₀ + bx,

где b₀, b - оценки коэффициентов регрессии, которые находятся по методу наименьших квадратов, в основе которого положено требование минимизаций квадратов отклонений результатов измерений случайной величины от линии регрессиилинии регрессии:

min{u=(y_i-m_y)²}, или после подстановки min{u=(y_i- b₀ - bx_i)²},

где y_i- реализация случайной величины в i-м опыте; x_i - значение независимой переменной в i-м опыте.

Минимум функции соответствует равенству нулю частных производных по всем неизвестным:

u/b₀ = -2(y_i- b₀ - bx_i) = 0;

u/b = -2(y_i- b₀ - bx_i) x_i = 0.

Раскрывая скобки, проводим суммирование и после преобразований получаем систему нормальных уравнений

nb₀ + bx_i = y_i; b₀x_i + bx_i² = y_i x_i.

Из решения системы получаем формулы для коэффициентов b₀ и b:

b = ny_i x_i - y_i x_i / (nx_i² - (x_i)²) b₀ = (y_i - bx_i)/n

В изложенной выше форме регрессионный анализ применяют для обработки результатов пассивного эксперимента, т.е. эксперимента в котором невозможно назначать и поддерживать на заданном уровне значения неслучайной величины. Более эффективным является активный эксперимент, позволяющий применять математическое планирование эксперимента и тем самым уменьшать время и число опытов.

1. Статистические встроенные функции MathCAD

Среднее значение выборки _N-1

mean(v) = 1/N  v_i

ⁱ⁼⁰

Выборочная дисперсия _N-1

var(v) = 1/N  (v_i - mean(v))²

ⁱ⁼⁰

Среднее квадратическое отклонение

stdev(v) = [var(v)]^1/2

Гистограмма hist

hist(array1,array2)

Первый аргумент функции array1 - массив, задающий пределы интервалов,

array2 - массив, содержащий данные выборки.

Результатом функции является массив частот, определяющих, сколько значений массива array2 - содержится в каждом из интервалов.

Коэффициенты корреляции и регрессии

Коэффициент корреляции - corr(vx,vy) (формула для определения была приведена в предыдущей лекции). Аргументами функций д.б. два массива одинаковой длины, задающие координаты точек: вектор vx задает X-координаты точек, вектор vy - Y-координаты точек.

Угловой коэффициент уравнения линейной регрессии - slope(vx,vy),

intercept(vx,vy) - значение Y- координаты точки пересечения графика уравнения линейной регрессии с осью OY.

Вычисление указанных коэффициентов основано на методе наименьших квадратов. Итак, уравнение линейной регрессии имеет вид:

y = ax + b, где a = slope(vx,vy), b = intercept(vx,vy).