3.2.1. Метод Крамера

Теорема Крамера. Если определитель D системы m линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение. Это решение может быть найдено по формулам.

x₁= ; x₂= ; …; x_n=

Где _k – определитель, получающийся из D заменой k-ого столбца свободными членами системы.

a₁₁…a₁,_k-1 b₁ a₁,_k+1 … a_1n

_k= ……………………………….

a_n1…a_n,_k-1 b_n a_n,_k+1 …. a_nn

Определение: Определитель матрицы n-ого порядка называется сумма всех произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца: при этом каждое произведение снабжено знаком «+» или «-» по некоторому правилу

x₁-2x₂+3x₃-x₄=6

2x₁+3x₂+4x₃+4x₄=-7

3x₁+x₂-2x₃-2x₄=9

x₁-3x₂+7x₃+6x₄=-7

3.2.2. Решение слау с использованием MathCad.

1. = =35

2. Определитель в формуле Крамера

₁=

₂=

₃= =0

₄= =-70

З. Решение системы

x₁= =2; x₂= =-1; x₃= =0; x₄= =-2

3. Решение систем уравнений в среде MathCad

Также пакет MathCAD позволяет решать системы уравнений (не только алгебраических линейных) с помощью решающего блока

x₁=2 x₂=2 x₃=4

Given (открытие блока)

x₁+x₂+x₃ 3

2x₁+x₂+x₃ 4

x₁+x₂+x₃ 5

(закрытие блока)

C₁=0,9999

C₂=1,0000

3.3. Численное интегрирование

Постановка задачи численного интегрирования.

При вычислении определенного интеграла

где функция f(x) – непрерывная на отрезке [a,b] функция, иногда удается воспользоваться известной формулой Ньютона-Лейбница:

Здесь F(x) – первообразная f(x).

В практике инженерных расчетов редко удается найти первообразную в аналитическом виде. Если к тому же учесть, что иногда подынтегральная функция вовсе задается таблицей или графиком, то становится понятным, почему интегрирование по формуле Ньютона-Лейбница не получило широкого применения на практике.

В настоящее время применяют различные методы приближенного (численного) интегрирования, среде них выделить следующие:

- формула прямоугольников;

- формула трапеций;

- метод Монте-Карло.

3.3.1. Формула прямоугольников

f(x)

a b x

Разобьем отрезок [a;b] на n равных участков (с шагом h = ). Геометрически площадь криволинейной фигуры можно заменить площадью прямоугольника. Тогда

3.3.2. Формула трапеций

f(x)

a b x

Разобьем отрезок [a;b] на n равных участков (с шагом h= ). Геометрически площадь элемента криволинейной фигуры можно подменить площадью трапеции. Тогда имеем:

3.3.3. Вычисление интеграла методом Монте-Карло

Метод основан на использовании результатов статистических испытаний. С помощью датчика случайных чисел на компьютере моделируется n случайных испытаний. Точность оценки значения интеграла равна корню квадратному из числа случайных испытаний. С помощью датчика случайных чисел получаем последовательность чисел X_i (i = 1…n) в интервале [a,b]. Для получения таких точек на основе последовательности случайных чисел x, равномерно распределенных в интервале [0,1] достаточно выполнить преобразование

Учитывая, что значение подынтегральной функции f(x) в точке b известно, аналогично можно получить значения случайных чисел по оси Y.

где y_i – последовательность случайных чисел, равномерно распределенных в интервале [0,1].

Таким образом, каждая пара испытаний определяет одну точку на поверхности (a,b,f(b),c).

Для каждой точки n(x_n, y_n) проверяется условие

,

т.е. проверяется - лежит точка над кривой или под ней. Каждая лежащая под кривой точка запоминается.

При достаточно большом количестве испытаний отношение количества точек под кривой N_p к общему количеству точек N_o будет пропорционально соотношению площади под кривой a,b,f(b),f(a) к площади прямоугольника a,b,f(b),c. Тогда