3. Численные методы решения

3.1. Решение нелинейных уравнений

Постановка задачи

В общем виде нелинейное уравнение с одной переменной может быть представлено в виде

где F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b].

Всякое число c принадлежащее [a,b] и обращающее F(x) в нуль (т.е. такое, при котором F(с) = 0) называется корнем уравнения.

Нелинейные уравнения с одним неизвестным делятся на:

• Алгебраические

• Трансцендентные

Уравнение называется алгебраическим, если функция является некоторой алгебраической функцией. Например

В любом другом случае уравнение F(x) называется трансцендентным. Например

Подавляющее большинство нелинейных уравнений не решается путем аналитических преобразований. Поэтому в инженерной практике их решают только численными методами.

Решить такое уравнение – это значит:

• установить имеет ли оно корни

• сколько корней

• найти значения корней с заданной точностью.

Задача численного нахождения действительных корней уравнения F(x) = 0 обычно состоит из двух этапов:

1. Отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей, содержащих только по одному корню

2. Вычисление корней с заданной точностью

Наиболее распространенными на практике методами решения уравнения F(x) = 0 являются:

• Метод деления отрезка пополам

• Метод хорд

• Метод касательных

3.1.1. Отделение корней или нахождение начального приближения к корню.

При решении уравнения F(x) = 0 прежде всего важно предварительно изучить расположение корней и заключить каждый корень в малую область, содержащую только один корень. Эту операцию удобно выполнять с использованием пакета MathCAD

(Лабораторная работа №2).

Для этой цели часто применяют графические методы. Если требуется найти только действительные корни уравнения, то для отыскания грубых значений корней можно построить график функции F(x) = 0 и найти абсциссы точек пересечения графика с осью X. Эти приближенные значения точек пересечения графика функции с осью X и принимают за начальные приближения к корням уравнения.

Если уравнение не имеет близких между собой корней, то этим способом они легко отделяются.

Н апример

Иногда удобно представить уравнение F(x) = 0 в виде F1(x) = F2(x) и затем, построив графики функций y1 = F1(x) и y2 = F2(x), найти абсциссы точек пересечения, которые и будут приближенными значениями корней.

Н апример

Корни уравнения симметричны относительно X=0. Поэтому мы можем рассматривать только положительные корни.

Значения x₁, x₂, x₃ и еще нескольких корней можно довольно точно определить графически. Но на графике не будет x_n для больших значений n. Значения x_n при больших n будут близки к πn.

Эти значения можно уточнить.

Пусть

,

где ε_n – некоторые небольшие добавки.

Тогда

Т.к. очень мало, то можно принять и

и .

В результате получим улучшенное значение корня

Преимущества графического метода решения – удобство и простота. Недостаток – данный метод применим только для грубого отделения корня.