4. Методы обработки экспериментальных данных
4.1. Приближение функций
Постановка задачи
Вычисление значений функции y=f(x) -одна из тех задач, с которыми приходится часто сталкиваться на практике. При решении данной задачи на ЭВМ желательно иметь быстрые и надежные алгоритмы вычисления значений нескольких функций.
Для элементарных и основных специальных функций эти алгоритмы разработаны в виде стандартных программ и включены в математическое обеспечение ЭВМ.
Однако, не редко используются и другие функции, непосредственное вычисление которых затруднено или приводит к большим затратам машинного времени. Например:
Функция F задана таблицей значений
(i=0,1,2…n) (*)
Вычисления производятся в точках х, не совпадающих с табличными.
Вычисление значений y=f(x) очень трудоемко из-за сложных расчетов и может быть неприемлемо, если функцию f надо вычислить многократно.
При заданном значении х значение f(x) может быть найдено из эксперимента. Ясно, что в большинстве случаев такой способ «вычисления» нельзя использовать в вычислительных алгоритмах.
Эти проблемы можно решить следующим образом. Функцию f(x) приближенно заменяют уравнением функции g(x), вычисляемые значения которой и принимают за приближенные значения функции f(x). Такая замена возможна лишь тогда, когда значения g(x) вычисляются быстро и надежно и погрешность приближения |f(x)-g(x)| достаточно мала.
При постановки задачи приближения необходимо решить следующие вопросы:
Какую информацию о функции f(x) можно использовать как входные данные для вычисления приближения g(x). Например, часто известна таблица значений (*), а иногда и таблица производных.
Полезно иметь дополнительную информацию об аппроксимируемой функции. Иногда она имеет качественный характер (Ex известно, что функция f «достаточно гладкая», периодическая, монотонная, частная и т.п.). Иногда известны верхние оценки для максимума модуля некоторых ее производных, величина, период, оценка уровня погрешности в заданных значениях.
Значение свойств функции f(x) позволяет выбирать класс аппроксимирующих функций. Широко используются классы функций вида
(***)
Являются линейными комбинациями
некоторых базисных функций:
,
,
.
Функцию
называют обобщенным многочленом, и
число m – его степенью.
Если в качестве базисных функций берутся
степенные функции
,
то возникает задача приближения
алгебраическими многочленами
(**)
Методы приближения функции алгебраическими многочленами играют важную роль в численном анализе и наиболее глубоко разработанных, т.к. многочлены вида (**) легко вычисляются, дифференцируются и интегрируются.
Тригонометрические многочлены
часто используют для аппроксимации
периодических на [0,1] функций (они так
же могут быть записаны в виде (***), если
в качестве базисных функций выбрать
;
;
;
;
;
…
Используются и некоторые нелинейные
комбинации функций, отличные от (***). Ex
– дробно-рациональные функции
.
Выбор класса аппроксимирующих функций осуществляется с учетом того, насколько хорошо может быть приближена функция f(x) функцией этого класса.
Необходим критерий выбора в классе аппроксимирующей функции y, являющейся (в смысле этого критерия) наилучшим приближением к f (Ex требование совпадения g и f в некоторых фиксированных точках приводит к задаче интерполяции). Другой распространенный критерий – требование минимума среднеквадратического отклонения – лежит в основе метода наименьших квадратов.
Решение указанных выше вопросов связано с тем, как мы собираемся использовать приближение g(x) и какая точность нам нужна.