3.1.2. Метод деления отрезка пополам

Метод является простейшим и надежным алгоритмом уточнения корня на отрезке [ab].

Пусть задана функция f(x), необходимо решить уравнение f(x)=0. Функция f(x) непрерывна на отрезке [ab] и f(a)*f(b) <0.

Для нахождения корня отрезок [ab]делим пополам .

Если , то является корнем уравнения.

Если , то выбираем тот отрезок [aс] или [сb] на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки.

Новый уменьшенный отрезок (например [сb]) снова делим пополам и т.д.

В результате на каком-то этапе получаем либо точный корень, либо последовательное приближение к корню.

3.1.3. Метод хорд

Постановка задачи

Имеем нелинейное уравнение F(x) = 0, где функция F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и F(a) * F(b) < 0. Предположим, что внутри отрезка [a,b]имеется только один корень уравнения, т.е. F(x) монотонна и производная на отрезке больше (или меньше) 0 F'(x) > 0.

Для нахождения корня заменим график функции F(x) на отрезке [a,b] хордой, проходящей через точки [a,f(a)], [b,f(b)].

Пусть точка c есть точка пересечения хорды [a,f(a)], [b,f(b)] и оси X. Точка c и есть первое приближение к корню уравнения.

Пусть f(c) * f(b) < 0. Затем проводим хорду [c,f(c)], [b,f(b)] и т.д. Но это графическое решение, необходимо получить математическую формулу.

Математическая формула

Уравнение прямой, проходящей через две точки [a,f(a)], [b,f(b)].

y = 0

Точка пересечения хорды [a,f(a)], [b,f(b)] с осью X есть

Эта и есть расчетная формула в методе хорд. Далее применяем этот метод к тому из отрезков [a,c] or [c,b], на концах которой функция принимает разный знак и получаем второе приближение и т.д.

3.1.4. Метод касательных

Постановка задачи

Имеем нелинейное уравнение F(x) = 0, где функция F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и F(a) * F(b) < 0. Предположим, что внутри отрезка [a,b]имеется только один корень уравнения, т.е. F(x) монотонна и производная на отрезке больше (или меньше) 0 F'(x) > 0.

У равнение касательной в точке имеет вид

П ри пересечении оси X Y = 0

Выражая из формулы x_n+1, получим расчетную формулу

Преимущества метода – быстрая сходимость

Недостаток – требует вычисления производной.

3.2. Решение систем линейных уравнений

Успешное решение большинства научно-технических задач в значительной степени зависит от умения быстро и точно получать решение систем линейных алгебраических уравнений. Кроме того, многие методы решения линейных задач также сводятся к решению некоторой последовательности линейных систем. В настоящее время хорошо разработан арсенал численных методов решения СЛАУ на ЭВМ.

Многообразие численных методов решения СЛАУ можно разделить на прямые и итерационные.

ПРЯМЫЕ методы характеризуются тем, что дают решение системы за конечное число арифметических операций. К ним относятся: метод Крамера, метод Гаусса и др. Прямые методы применяются на практике для решения СЛАУ на ЭВМ, как правило, с числами порядка не выше 10.

ИТЕРАЦИОННЫЕ являются приближенными. Они дают решение системы как предел последовательных приближений, вычисляемых по однообразной схеме. К ним относятся: метод простой итерации, метод Зейгеля и др. На практике итерационные методы применяются для решения систем с числами порядка 10.

Рассмотрим систему m линейных АУ с n неизвестными

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n=b₁

………………………………

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n=b_m

Которая может быть записана в матричном виде A*X=B, где

A= , X= , B=

матрица матрица матрица

коэффициентов неизвестных свободных

системы членов

Решением системы называется такая упорядоченная совокупность чисел х₁=с₁, х₂=с₂, …, x_n=c_n, которая обращает все уравнение системы в верные равенства.

Система ЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если более одного решения.