- •Определители 2-ого и 3-его порядков. Понятие об определителе н-ного порядка. Свойства определителей. Разложение определителей по строке (столбцу).
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера.
- •Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •Векторы. Линейные операции над векторами. Базис и система координат. Координаты вектора.
- •Декартовы координаты векторов и точек. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства, геометрический смысл.
- •Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
- •Уравнение плоскости в пространстве. Угол между плоскостями.
- •Уравнение прямой в пространстве. Угол между прямой и плоскостью и угол между прямыми в пространстве.
- •Кривые второго порядка: эллипс, парабола, гипербола. Канонические уравнения. Приведение пятичленного уравнения к каноническому виду.
- •11. Множество вещественных чисел. Функция. Область её определения
- •12. Предел функции. Свойства функции имеющих предел. Односторонние
- •13. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные
- •16. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно
- •18. Существование наибольшего и наименьшего значений непрерывной
- •20. Определение производной, её геометрический и механический
- •22. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Непрерывность
- •23. Производная сложной и обратной функции. Дифференцирование
- •27. Производные высших порядков. Формула Тейлора с остаточным
- •28. Условие монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое
- •32. Пространство Rn . Множества в Rn открытые, замкнутые,
- •34. Частные производные. Дифференциал, его связь с частными
- •35. Геометрический смысл частных производных и дифференциала.
- •38. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие
Определители 2-ого и 3-его порядков. Понятие об определителе н-ного порядка. Свойства определителей. Разложение определителей по строке (столбцу).
Определителем второго порядка (n=2), т.е. определителем матрицы А=( (а11 а 12) (а21 а22) ) называется число │А│= │ (а11 а 12) (а21 а22) │ = а11а22 – а12а21, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Определителем третьего порядка, (n=3), т.е. определителем матрицы А=( (а11 а 12) (а21 а22) (а31 а32 а33) называется число, определяемое формулой │А│ = а11а22а33+а12а23а31 + а13а21а32 – а13а22а31-а12а21а33-а11а23а32.
Понятие об определителе н-ного порядка. Определителем порядка n называется сумма произведений элементов какой-то строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения (определители порядка n-1).
Свойства определителей.
Свойство 1. Кососимметричность. Если в определителе поменять местами какие-либо две строки, то определитель изменит знак.
Свойство 2. Если в определителе какая-то строка, например первая, представляется в виде суммы двух строк: А1 = А*1 + А**1, то определитель равен сумме двух определителей.
Свойство 3. Если какую-то строку определителя умножить на число, то определитель умножится на это число.
Свойство 4. Если в определителе две строки равны, то определитель равен нулю.
Свойство 5. Если в определителе какие-то две строки пропорциональны, то определитель равен нулю.
Свойство 6. При элементарных преобразованиях второго рода(II((i) + λ(j)) состоит в том, что к i-й строке прибавляется j-я, умноженная на число λ) определитель не меняется.
Свойство 7. При транспонировании определитель не меняется.
Разложение определителей по строке (столбцу). Определитель равен сумме попарных произведений элементов какой-то строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.
Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера.
Если определитель системы ≠0, то система совместна и определённа, и её единственное решение находится (в случае n=3) по формулам Крамера
Х1= , x2= , x3=
Если , а хотя бы один из , то система несовместна.
Теорема. Для системы линейных уравнений второго порядка возможны три случая:
Если то решение единственно,
Если а или то решений нет,
Если то решений бесконечно много, либо их нет.
Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Произведением матриц А размера (m*k) и В размера (k*n) называется матрица С размера (m*n). А*В=С, элементы которой определяются по правилу «строка на столбец».
Произведением матрицы А на число λ называется матрица λА=( λаij). Таким образом, при умножении матрицы на число каждый её элемент умножается на это число.
Суммой матриц А=(аij) и В=(bij) одного и того же размера m*n называется (m*n)-матрица С=А+В, у которой сij=аij+bij, т.е. при сложении матриц складываются элементы, стоящие на одинаковых местах.
Матрица, обратная к матрице А, - это такая матрица А^-1, что А*А^-1=Е и А^-1*А=Е.
Если определитель квадратной матрицы А не равен нулю, ∆=│А│≠0, то обратная матрица А^-1 существует и находится по формуле А^-1= 1/∆ * Ȃ.