32. Пространство Rn . Множества в Rn открытые, замкнутые,

ограниченные, линейно связные, выпуклые. Компактность.

Функции нескольких переменных. Множество всех n-мерных арифметических векторов, в которых введены операции: сложение векторов и умножение на число называется арифметическим n-мерным пространством (Rn).

Вектор θ = (0, 0, ..., 0) называется нулевым вектором Rn,

а вектор −x = (−x1, −x2, ..., −xn) — противоположным вектором для вектора x в Rn.

Множество G R_n называется открытым, если все его точки внутренние.

Множество G называется связным, если любые его две точки х¹, х² можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G.Связное открытое множество называется областью

Опр. Окрестностью точки xÎX называется любое открытое множество, содержащее эту точку. Обозначение: - окрестность точки x; - окрестность точки x радиуса Опр. Пусть , тогда точка называется предельной точкой множества Y , если каждая окрестность точки x содержит по крайней мере одну точку y: .

множество называется компактным, если каждая бесконечная последовательность его элементов (точек) имеет хотя бы одну предельную точку (См. Предельная точка). От К. по отношению к объемлющему пространству отличают К. в себе: множество (лежащее в определенном топологическом пространстве или являющееся само топологическим пространством) компактно в себе, если каждая бесконечная последовательность его элементов имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащую тому же множеству.

Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x, y, z, …,t), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u. Если переменная является функцией от двух переменных х и у, то функциональную зависимость обозначают z = f (x, y).

33. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х₀, у₀) такая, что для всех (x, y) из этой окрестности, отличных от (х₀, у₀), выполняется неравенство | f (x, y) – A | < ε.

По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х₀, у₀), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х₀, у₀) и если предел f (x, y) в этой точке равен ее значению в ней:

Условие непрерывности f в точке (х₀, у₀) можно записать в эквивалентной форме:

т.е. функция f непрерывна в точке (х₀, у₀), если непрерывна функция f (х₀ + Δх, у₀ + Δу) от переменных Δх, Δу при Δх = Δу = 0.

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х₀, у₀) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х₀, у₀) ≠ 0.

Непрерывность функции дает представление о ее графике. Это означает, что график есть сплошная линия, а не состоит из отдельных разрозненных участков.

34. Частные производные. Дифференциал, его связь с частными

производными. Частной производной функции z=f( ) по переменной называется производная по переменной при условии,что остальные переменные считаются постоянными.

Частные производные по переменной обозначаются одним из способов: .

Частные производные второго порядка получаются в результате двух последовательных дифференцирований.

Частные производные порядка n функции z=f(x,y) получаются в результате n последовательных дифференцирований этой функции. Если получающиеся при этом смешанные производные непрерывны,то по теореме они не зависят от порядка дифференцирований.

Дифференциал функции - это произведение производной f ’( x0 ) и приращения аргумента :

df = f ’( x0 ) · .