16. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно

малые и их применение для вычисления пределов . Рассмотрим функции α(х) и β(х), для которых то есть бесконечно малые в окрестности х₀.

1.Если то α(х) и β(х )называются бесконечно малыми одного порядка. В частности, если А=1, говорят, что α(х) и β(х) – эквивалентные бесконечно малые.

2.Если то α(х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с β(х).

3.Если , то α(х) есть бесконечно малая порядка n по сравнению с β(х).

Обозначения: α(х)=О(β(х)) – бесконечно малые одного порядка, α(х)~β(х) – эквивалентные бесконечно малые, α(х)=о(β(х)) – α есть бесконечно малая более высокого порядка, чем β.

17. Ограниченность функций непрерывных на отрезке. . Функция f(x), непрерывная на отрезке [ab], ограничена на нем.

Доказательство. По 1-му свойству предела существует окрестность точки х = а, в которой f(x) ограничена, то есть существуют числа m₀ и М₀: m₀<f(x)<M₀ в рассматриваемой окрестности. Выберем точку в правой части этой окрестности и рассмотрим окрестность этой точки, в которой f(x) тоже ограничена. Продолжим эту процедуру до тех пор, пока весь отрезок [ab] не будет покрыт системой из n окрестностей, причем для каждой i-й окрестности m_i<f(x)<M_i. Следовательно, для любого х, принадлежащего отрезку [ab], верно неравенство: m<f(x)<M, где m=min(m_i), M=max(M_i). Значит, f(x) ограничена на [ab].

18. Существование наибольшего и наименьшего значений непрерывной

функции на отрезке. Существование наибольшего и наименьшего значений функции следует из теоремы Вейерштрасса, в которой утверждается, что если функция непрерывна на отрезке , то функция принимает на нём наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют точки отрезка , в которых функция принимает наибольшее и наименьшее на значения. Если при этом она имеет конечное число критических точек, то найти эти значения можно по следующему алгоритму:

Найти D ( f ) . Определить как непрерывную и дифференцируемую на своей области определения и на .

Найти критические точки , выбрать те из них, которые принадлежат .

Найти значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.

Максимальное из найденных чисел задаёт наибольшее значение функции на отрезке, а минимальное соответственно наименьшее.

19. Теорема о промежуточных значениях функции непрерывной на отрезке. Если функция у(х) непрерывна на отрезке [a,b] и у(a) =/= у(b), то для любого числа М между у(a) и у(b) найдется внутри (a,b) хотя бы одна точка х0 такая, что у(х0)=М.

Доказательство опирается на теорему Коши: Если у(a)*у(b) < 0, то внутри (a,b) найдется хотя бы одна точка х0 такая, что у(х0)=0.

Достаточно рассмотреть функцию у(х)-М и сослаться на теорему Коши. А вот док-во теоремы Коши не такое короткое, хотя утверждение геометрически совершенно очевидно.

Теорема Коши (о промежуточных значениях непрерывной функции) пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда найдется такая точка , в которой значение функции равно нулю.