4. Векторы. Линейные операции над векторами. Базис и система координат. Координаты вектора.

Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками А и В. А-начало, В-конец.

Вектор АА называется нуль-вектором. Он имеет нулевую длину и не имеет направления. Он имеет произвольное направление.

Свободным вектором называется множество закрепленных векторов, которые имеют одинаковую длину и направление.

Сложение двух векторов определяется по одному из правил: правилу параллелограмма или правилу треугольника. АВ+ВС=АС.

Вычитание. Разностью векторов а-b называется такой вектор х, что b+x=a.

Умножение вектора на число. Произведением вектора а на число λ называется вектор λа, у которого 1) длина │λа│=│λ││а│; 2) направление: λаٲٲа, если λ>0; λаٲٳа, если λ<0.

Базис векторного пространства – это система линейно независимых векторов этого пространства, через которые любой вектор этого пространства может быть представлен в виде их линейной комбинации. На прямой базис состоит из одного вектора е≠0. На плоскости базис состоит из двух линейно независимых векторов. В пространстве базис состоит из трех линейно независимых векторов е1,е2, е3. Любой вектор а в пространстве можно и притом единственным образом выразить через базис в виде линейной комбинации: а=Х1е1 + Х2е2+ Х3е3. Числа Х1, Х2, Х3 называются координатами вектора а относительно базиса е1, е2, е3.

Система координат (в пространстве) состоит из базиса е1, е2, е3 и точки О, которая называется началом координат. Координатами точки М в системе координат (О; е1,е2,е3) называются координаты её радиус-вектора ОМ в базисе е1,е2,е3. ОМ=х1е1+х2е2+х3е3.

Координаты вектора, соединяющего две точки равны разностям соответствующих координат его конца и начала, т.е. если а=М1М2, М1(х1,х2,х3), М2 (у1,у2,у3), то координаты вектора а (Х1,Х2,Х3) равны Х1=у1-х1, Х2=у2-х2, Х3=у3-х3.

5. Декартовы координаты векторов и точек. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Проекцией вектора а=АВ на ось l называется вектор а`=А`В`, где А` и В` ортогональные проекции точек А и В на прямую l. Величиной проекции вектора а на ось l называется координата вектора а` на прямой l относительно базисного вектора е.

Скалярным произведением векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов и косинуса угла ᵠ =ﮮ(а,b) между ними: (a,b)=│а│*│b│*cosᵠ

Вычисление в координатах:

Если а=(Х1,У1,Z1), b=(X2,Y2,Z2), то (a,b)=X1X2+Y1Y2+Z1Z2, т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений соответствующих координат.

Свойства скалярного произведения.

1. (а,b)=(b,a)

2. (λa,b)=λ(a,b)

3. (a1+a2,b)=(a1,b)+(a2,b)

Первое свойство называется симметричностью скалярного произведения; второе и третье свойства - линейность скалярного произведения по первому сомножителю.

6. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства, геометрический смысл.

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который обозначается [а,b] и который определяется условиями:

1. Его длина равна произведению длин этих векторов и синуса углаᵠ=ﮮ(а,b) между ними:

│с│=│а│*│b│* sinᵠ

2. Его направление характеризуется тем, что: с┴а и с┴b, векторы а,b,c образуют правую тройку. Если отложить эти векторы от одной точки и смотреть из конца третьего вектора с, то кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b будет осуществляться против часовой стрелки.

Свойства векторного произведения.

1. [a,b]=[-b,a]

2. [λa,b]=λ[a,b]

3. [a1+a2,b]=[a1,b]+[a2,b]

Свойство 1. Называется кососимметричностью векторного произведения; свойства 2 и 3 – линейность векторного произведения по первому сомножителю.

Вычисление в координатах: [a,b] = │Y1 Z1, Y2 Z2│i-│X1 Z1, X2 Z2│j+│X1 Y1, X2 Y2│k.

Геометрический смысл модуля векторного произведения: длина векторного произведения двух векторов равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. │[a,b]│=│a││b│sinᵠ=Sab.

Смешанным произведением трех векторов а,b и с называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий вектор:

<a,b,c>=([a,b],c)

Геометрически смешанное произведение равно объёму V параллелепипеда, построенного на векторах а,b, с со знаком =±V, где знак плюс берется в случае, если векторы а,b,с образуют правую тройку, а знак минус – если левую. Векторы а,b,с компланарны <a,b,c>=0

В координатах: <a,b,c>=│X1 Y1 Z1, X2 Y2 Z2, X3 Y3 Z3│

Свойства смешанного произведения:

1. Кососимметричность. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак: <a,b,c>=<b,a,c>=<b,c,a>=…

Полилинейность, т.е. линейность по каждому сомножителю:

2. <λa,b,c>=<a,λb,c>=<a,b,λc>=λ<a,b,c>

3. <a1+a2,b,c>=<a1,b,c>+<a2,b,c>, <a1,b1+b2,c>=…, <a,b,c1+c2>=…

компланарны <a,b,c>=0