38. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие
Экстремума.
Достаточное условие экстремума. Точка
называется точкой локального максимума
(соответственно локального минимума)функции
z=f(x,y),если
f(
)
f(M)
(соответственно f(
)
f(M))
для M(x,y)
в некоторой окрестности точки
.
Точки локального максимума и локального
минимума называются точками локального
экстремума.
Необходимое
условие:
Если
-точка локального экстремума функции
z=f(M)=f(
)и
в этой точке существуют частные
производные ,то эти производные равны
нулю:
i=1,…,n.Точка
называется критической (или
стационарной)точкой функции z=f(M),если
в этой точке существуют частные
производные и все они обращаются в
нуль:
при I=1,…,n.
Критические точки функции z=f(x,y)
находятся из системы:
.
Достаточные
условия:
Пусть функция z=f(x,y)
имеет непрерывные частные производные
второго порядка в окрестности точки
и пусть
есть
критическая точка,т.е.
.
Тогда
1)если
H(
)>0,то
-точка
локального экстремума,причем
1+)если
,то
- точка локального минимума;
1-)а
если
,то
-
точка локального максимума;
2)если H( )<0,то не является точкой локального экстремума (а является седловой точкой);
3)если H( ) =0 ,то экстремум в точке может быть, а может не быть и для исследования нужно привлекать производные третьего порядка.