- •Определители 2-ого и 3-его порядков. Понятие об определителе н-ного порядка. Свойства определителей. Разложение определителей по строке (столбцу).
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера.
- •Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •Векторы. Линейные операции над векторами. Базис и система координат. Координаты вектора.
- •Декартовы координаты векторов и точек. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства, геометрический смысл.
- •Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
- •Уравнение плоскости в пространстве. Угол между плоскостями.
- •Уравнение прямой в пространстве. Угол между прямой и плоскостью и угол между прямыми в пространстве.
- •Кривые второго порядка: эллипс, парабола, гипербола. Канонические уравнения. Приведение пятичленного уравнения к каноническому виду.
- •11. Множество вещественных чисел. Функция. Область её определения
- •12. Предел функции. Свойства функции имеющих предел. Односторонние
- •13. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные
- •16. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно
- •18. Существование наибольшего и наименьшего значений непрерывной
- •20. Определение производной, её геометрический и механический
- •22. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Непрерывность
- •23. Производная сложной и обратной функции. Дифференцирование
- •27. Производные высших порядков. Формула Тейлора с остаточным
- •28. Условие монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое
- •32. Пространство Rn . Множества в Rn открытые, замкнутые,
- •34. Частные производные. Дифференциал, его связь с частными
- •35. Геометрический смысл частных производных и дифференциала.
- •38. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие
35. Геометрический смысл частных производных и дифференциала.
Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и
нормаль к поверхности. Геометрический смысл ЧП-ой состоит в следующем : значение ЧП-ой по переменной «х» = тангенсу угла наклона на касательной проведённой к кривой получаемой пересечением поверхностей Z=f(x,y) и плоскости у=у0.Анологично опр-ся геометрический смысл ЧП-ой по переменной «у». Значение ЧП-ой по переменной «у» = тангенсу угла наклона касательной проведённой к кривой к-рая получается при пересечении поверхности с плоскостью х=х0
Геометрический смысл дифференциала: Если к графику гладкой функции в некоторой точке построить касательную, то, отложив на касательной такой отрезок, чтобы его проекция на ось Ох равнялась дельтаХ, получим в проекции на ось Оу отрезок, равный дифференциалу функции в точке касания.
Производной функции u=u(P)=u(x,y,z) по направлению l(или по направлению вектора е)в точке называется предел отношения приращения функции в направлении l к «приращению аргумента»: . В частности,если l совпадает с одной из осей координат ,мы получаем определение частной производной.
Градиентом функции u=u(x,y,z)называется векторное поле,координатами которого являются частные производные функции u: .
Касательной плоскостью к поверхности в некоторой точке называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке.
Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости имеет вид:
F'x (x0, y0, z0) · (x − x0) + F'y (x0, y0, z0) · (y − y0) + F'z (x0, y0, z0) · (z − z0) = 0.
Если точка поверхности является особой, то в этой точке нормальный к поверхности вектор может не существовать, и, следовательно, поверхность может не иметь нормали и касательной плоскости.
Нормалью к поверхности в некоторой ее точке называется прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке и которая проходит через эту точку.
36. Неявные функции. Дифференцирование неявных функций. Неявной функцией от переменных x,y называется соответствие, которое определяется уравнением F(x,y,z)=0,где F(x,y,z)-некоторая функция трех переменных.
Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.
Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.
Пример: Найти производную функции у, заданную уравнением х3+у3-3ху=0.
Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х3+у3-3ху=0. Из полученного соотношения
3х2+3у2· у'-3(1· у+х· у')=0
следует, что у2у'-ху'=у-х2, т. е. у'=(у-х2)/(у2-х).
37. Частные производные высших порядков. Частные производные порядка n функции z=f(x,y)получаются в результате n последовательных дифференцирований этой функции. Если получающиеся при этом смешанные производные непрерывны ,то по теореме(Теорема:Если функция z=f(x,y)имеет смешанные производные и в некоторой окрестности точки ,которые непрерывны в самой этой точке, то эти производные в точке равны: ,т.е. производные не зависят от порядка дифференцирования.)они не зависят от порядка дифференцирований.