§ 10. Проекции отрезка прямой линии
Положим, что даны фронтальные и горизонтальные проекции точек А и В
(рис. 45). Проведя через одноименные проекции этих точек прямые линии, мы
получаем проекции отрезка АВ -- фронтальную (А"В") и горизонтальную
(А'В1)').
Можно ли утверждать, что такой чертеж (рис. 45) выражает именно отрезок
прямой линии? Да; если представить себе (рис. 46), что через А'В' и через
А"В" проведены проецирующие плоскости (т. е. перпендикулярные соответственно
к 1 и к 2), то в пересечении этих плоскостей получается прямая и ее
отрезок АВ. При этом точка, заданная своими проекциями на А'В' и на А"В",
принадлежит отрезку АВ.
На рис. 47 дан чертеж отрезка АВ в системе 1, 2, 3· Проекции А'" и
В'" построены так, как это было показано на рис. 18 для одной точки А.
Точки А и В находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей
·,, 2 и 3, т. е. прямая АВ не параллельна ни одной из них. При этом ни
одна из проекций прямой не параллельна оси проекций и не перпендикулярна к
ней. Такая прямая называется прямой общего положения.
25
Рис. 45 Рис. 46 Рис. 47
Каждая из проекций меньше самого отрезка: А'В' < АВ, А"В" < АВ,
А'"В'" < < АВ. Обозначая углы между прямой и плоскостями 1; 2 и 3
соответственно через 1, 2 и 3, получим
А'В' = ABcos 1, А" В" = АВ cos 2, А'" В'" = ABcos 3.
Если А'В' = А"В" = А"'В'", то прямая образует с плоскостями проекций
равные между собой углы (~ 35°)1); при этом каждая из проекций
прямой расположена
под углом 45° к соответствующим осям проек-ций или линиям связи между
проекциями.
Действительно, если (рис. 48) А'В" = А'В' и А'В' = А'"В'", то фигура
А"В"В'А' - равнобочная трапеция и В"1 = В'2, откуда В"'3 = А'"3, т. е. угол
А'"В"'3 = 45°, а так как фигура А"В"В'"А"' - параллелограмм, то каждый из
углов В"А"1 и В'А'2 равен 45°.
Как построить на чертеже без осей проекций, например, профильную
проекцию отрезка прямой линии? Построение показано на рис. 49, где слева дан
исходный чертеж отрезка АВ прямой общего положения, в середине показано
применение вспомогательной прямой, проведенной под углом 45°· к направлению
линии связи В"В', а справа -- построение в разности расстояний точек А и В
от пл. 2, т. е. по отрезку : задавшись положением хотя бы проекции А'"
(на линии связи А"А'"), откладываем А'"2 = и, проведя из точки 2
перпендикуляр до пересечения с линией связи проекций В" и В'", находим
положение проекции В'".
Рис. 49
1) Вывод см. В § 13.
26
§ 11. Особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей
ПРОЕКЦИЙ
Прямая линия может занимать относительно плоскостей проекций особые
(иначе, частные) положения. Рассмотрим их по следующим двум признакам:
А. Прямая параллельна одной плоскости проекций.
Б. Прямая параллельна двум плоскостям проекций.
В первом случае одна проекция отрезка прямой равна самому отрезку. Во
втором случае две проекции отрезка равны ему1).
А. Прямая параллельна одной плоскости проекций
1. Прямая параллельна пл. , (рис. 50). В таком случае фронтальная
проекция прямой параллельна оси проекций и горизонтальная проекция отрезка
этой прямой равна самому отрезку: А'В'=АВ. Такая прямая называется
горизонтальной.
Если, например, проекция А"В" совпадает с осью проекций, то отрезок АВ
расположен в пл. , 2).
Рис. 50
Рис. 51
2. Прямая параллельна пл. 2 (рис. 51). В таком случае ее
горизонтальная проекция параллельна оси проекций и фронтальная проекция
отрезка этой прямой равна самому отрезку: C"D" = CD. Такая прямая называется
фронтальной.
Если, например, проекция C'D' совпадает с осью проекций, то это
соответствует положению отрезка CD в самой пл. 2.
') Все это, конечно, с учетом масштаба чертежа.
2) На рис. 50 справа дан чертеж без указания оси проекций.
То же сделано на рис. 51.
27
3. Прямая параллельна пл. 3 (рис. 52). В таком случае горизонтальная и
фронтальная проекции прямой располагаются на одном перпендикуляре к оси
проекций Ох и профильная проекция этой прямой равна самому отрезку: E"F" =
EF. Такая прямая называется профильной.
Рис. 52 Рис. 53
Можно ли считать, что на чертежах, подобных указанным на рис. 50 и 51,
изображены отрезки именно прямых линий? Да; доказательство такое же, как для
прямой общего положения (рис. 46).
Если же на чертеже в системе 5 2 обе проекции перпендикулярны к оси
проекций, то проецирующие плоскости, проведенные через E'F и E"F", сливаются
в одну и оригиналом может быть не только прямая линия, но и некоторая
плоская кривая (рис. 53).
Б. Прямая параллельна двум плоскостям проекций