1. Пусть точка а вращается вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 (рис.

212). Через точку а проведена пл. , перпендикулярная к оси вращения и,

следовательно, параллельная пл. 1. При вращении точка А описывает в пл.

окружность радиуса R; величина радиуса выражается длиной перпендикуляра,

проведенного из точки А на ось. Окружность, описанная в пространстве точкой

А, проецируется на пл. 1 без искажения. Так как пл. перпендикулярна к

пл. 2, то проекции точек окружности на пл. 2 расположатся на ", т. е. на

прямой, перпендикулярной к фронтальной проекции оси вращения. Чертеж дан на

рис. 212 справа: окружность, описанная точкой А при вращении ее вокруг оси,

спроецирована без искажения на пл. 1 Из точки О', как из центра, проведена

окружность радиуса R = О'А'!"No; на пл. 2 эта окружность изображена

отрезком прямой, равным 2R.

Рис. 212 Рис. 213 Рис. 214

На рис. 213 изображено вращение точки А вокруг оси, перпендикулярной к

пл. 2. Окружность, описанная точкой А, спроецирована без искажения на пл.

2. Из точки 0", как из центра, проведена окружность радиуса R= О'А'; на пл.

эта окружность изображена отрезком прямой, равным 2R.

86

Из рассмотрения рис. 212 и рис. 213 отчетливо видно, что при вращении

точки вокруг оси, перпендикулярной к какой-нибудь из плоскостей проекций,

одна из проекций вращаемой точки перемещается по прямой, перпендикулярной к

проекции оси вращения.

На рис. 214 показан поворот точки A против движения часовой стрелки на

угол вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно к пл. 2. Из

точки О", как из центра, проведена дуга радиуса О"А", соответствующая углу

и направлению вращения. Новое положение фронтальной проекции точки А --

точка

.

2. Теперь рассмотрим поворот отрезка_прямой линии вокруг заданной оси.

Отрезок АВ (рис. 215) повернут в положение

. Очевидно, дело свелось к повороту точек А и В на заданный угол по

заданному направлению. Пути перемещения фронтальных проекций этих точек

указаны прямыми, проведенными через А" и В" перпендикулярно к фронтальной

проекции оси вращения

Новое положение горизонтальной проекции точки А (точка

) получено при повороте радиуса О'А' на заданный угол . Для нахождения

точки В' (положение горизонтальной проекции точки В после поворота)

проведена дуга радиусом О'В"

Рис. 215 Рис. 216

и в этой дуге отложена хорда В¹

, равная хорде 1--2; это соответствует повороту точки В на тот же

угол_.

Далее, из точек

' и

' проведены линии связи до пересечения направлениями перемещения

фронтальных проекций; получены проекции

" и

".

Отрезки прямых между точками

" и

" и между точками А' и В' определяют новые положения фронтальной и

горизонтальной проекций отрезка АВ после его поворота в положение А В.___·

Так как в треугольниках '' и А' В'О' (рис. 215) стороны_В'О' и А'О'

треугольника А'В'О' .равны (как радиусы) соответственно сторонам ' и

А'О' треугольника А' В'О' и углы, заключенные между указанными_сторонами,

также равны, то эти треугольники равны между собой. Значит, А'В¹=

А' В', т. е. величина горизонтальной проекции отрезка, повернутого вокруг

оси, перпендикулярной к пл. 1( не изменяется. Очевидно, такое же заключение

справедливо в отношении фронтальной проекции отрезка при его повороте вокруг

оси, перпендикулярной к пл. 2.

В равных между собой треугольниках А'В'О' и А' В'О' (рис._215) будут

равны и их высоты, проведенные, например, из точки О' на А'В' и А' В'.

Сделанные выводы позволяют установить следующий способ построения новых

проекций отрезка, вращаемого около оси на заданный угол (рис. 216). Через

точку О' проводим прямую, перпендикулярную к А'В¹; точку С'

(пересечение перпендику-

87

ляра с А'В') повертываем на заданный угол. Проведя через точку С"

(новое положение точки С') прямую, перпендикулярную к радиусу О' С',

получаем направление нового положения горизонтальной проекции отрезка.

Так_как отрезки С' А' и С' В¹ не_изменяют своей величины, то,

откладывая от точки С' отрезки С' А' = С' А' и С' В' = С'В', находим

новое положение А'В'_проекции всего отрезка. Нахождение нового положения

фронтальной проекции А"В" остается прежним.

Указанным способом можно не только повернуть отрезок на заданный угол,

но и определить угол, на который надо повернуть заданный отрезок, чтобы

придать ему некоторое требуемое положение (например, расположить параллельно

плоскости 2).