- •10. Проекции линий -- по проекциям точек, определяющих линию; кроме
- •11. Обозначение плоскостей, заданных следами:
- •12. При преoбaзoвaнии эпюра (чертежа) вращением (или совмещением) в
- •13. Плоскость проекций (картинная плоскость) в аксонометрии -- буквой
- •2) В основе этого слова латинское projectio -- бросание
- •Глава I образование проекций
- •§ 1. Проекции центральные
- •§ 2. Проекции параллельные
- •5). Так построенные проекции называются параллельными.
- •1) Перспективные проекции в программу данного курса не
- •§ 3. Метод монжа
- •1) Теперь Петербургский государственный университет путей
- •XIX столетии н. Г. Уже получила значительное научное развитие. Очевидно, для
- •Глава II точка и прямая
- •§ 4. Точка в системе двух плоскостей проекций 1,2
- •2. Проведя из а перпендикуляры к и 2, получаем проекции точки а:
- •1) Метод проекций с числовыми отметками в программу
- •1) Ёриге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо "эпюр"
- •§ 5. Точка в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3
- •15): Обозначенная буквой 3 плоскость перпендикулярна и к 1 и к 2. Ее
- •§ 6. Ортогональные проекции и система прямоугольных координат
- •2) Ordinata (лат.) -- от ordinatim ducta (лат.) -- подряд
- •3) Applicata (лат.) -- приложенная.
- •26 Показана точка к, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых
- •§ 7. Точка в четвертях и октантах пространства
- •§ 8. Образование дополнительных систем плоскостей проекций
- •1; Равном aa' и а"ах.
- •2/ 1) Введена еще ось 4/1; она выбирается согласно условиям,
- •1) Это обозначение оси соответствует ранее принятому -- х.
- •§ 9. Чертежи без указания осей проекций
- •2 В новое положение (на рис. 43 положение 45) в направлении
- •1) Биссекторная плоскость двугранного угла -- плоскость,
- •§ 10. Проекции отрезка прямой линии
- •1) Вывод см. В § 13.
- •§ 11. Особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей
- •1. Прямая параллельна плоскостям 1 и 2 (рис. 54), т. Е.
- •2. Прямая параллельна плоскостям , и 3 (рис. 55), т. Е.
- •3. Прямая параллельна плоскостям 2 и 3 (рис. 56), т. Е.
- •§ 12. Точка на прямой. Следы прямой
- •63) Задана проекция с", то, очевидно, надо разделить а'в' в том же
- •§ 13. Построение на чертеже натуральной величины
- •1Определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции а'в'
- •2А'в' равны каждый 45° (см. § 10).
- •2 Системой 4, 1, выбрав пл. 4% 1 и параллельно заданному на чертеже
- •1 || А'в1); проекция выражает
- •§ 14. Взаимное положение двух прямых
- •§ 15. О проекциях плоских углов
- •1. Если плоскость, которой расположен некоторый угол, перпендикулярна
- •2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций
- •3. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то
- •4. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна
- •2) Интересующихся доказательством обратных теорем отсылаем к
- •5. Ecли плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к
- •6. Если обе стороны любого угла, параллельны плоскости проекций, то его
- •0; С°в° || св. Пл. , проведенная через точку с перпендикулярно к св,
- •Глава III. Плоскость
- •§ 16. Различные способы задания плоскости на чертеже
- •§ 17. Следы плоскости
- •§ 18. Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения
- •1) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,
- •2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку,
- •2) Для линии ската плоскости распространено название "линия
- •108, Справа, на котором изображена пл. И прямая mb, устанавливаем, что эта
- •§ 19. Положения плоскости относительно плоскостей проекций
- •1. Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций,
- •2. Но, может быть, эта плоскость перпендикулярна к 3? Нет, горизонталь
- •110, 111, 113, 116, А также рис. 102, 104, 107, слева, 108, 115, справа,
- •117, 119, На которых плоскости выражены следами. Плоскость общего положения
- •1 2 , То рассматриваемая плоскость может быть определена как плоскость,
- •2. Если плоскости перпендикулярны лишь к одной из плоскостей проекций,
- •1, 2 С указанием оси и следов f"о и h'о
- •129). Следы ее f 0 и h0 сливаются с осью х; в этом случае необходимо иметь
- •130: Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, из которых одна (ab)
- •3. Если плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекций, то также
- •§ 20. Проведение проецирующей плоскости через прямую линию
- •§ 21. Построение проекций плоских фигур
- •1 Или к 2. Например, на рис. 123 плоскость треугольника
- •140, Проецируется на пл. 1 без искажения.
- •2) Ортоцентр треугольника.
- •Глава IV. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости
- •§ 22. Обзор взаимных положений двух плоскостей, прямой линии и
- •§ 23. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной
- •§ 24. Построение линии пересечения двух плоскостей
- •1, В своем пересечении определяют первую точку, к1, линии пересечения
- •1'2', И 3'4', следует для проекций 5'6' и 7'8' взять по одной
- •167 Показывает, что и пересекаются между собой, хотя их горизонтали
- •§ 25. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения
- •§ 26. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам
- •166). Рассмотрим теперь другой способ построения в применении к плоскостям
- •3', Через горизонтальную проекцию которой проведена прямая параллельно
- •§ 27. Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой
- •§ 28. Построение взаимно параллельных плоскостей
- •§ 29. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости
- •1) Через точку а провести плоскость (назовем ее ), перпендикулярную к
- •2) Определить точку к пересечения прямой вс с ил. ;
- •1,2 Дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы 3, 1,
- •90°. Аналогично, если пл. Составляет с пл. 2 угол ?, а прямая am,
- •§ 30. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей
- •194 Горизонтально-проецирующая плоскость проходит через точку к
- •§ 31. Построение проекций угла между прямой и плоскостью и между двумя
- •Глава V. Способы перемены плоскостей проекций и вращения
- •§ 32. Приведение прямых линий и плоских фигур
- •1) Введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия
- •2) Изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем поворота
- •§ 33. Способ перемены плоскостей проекций 1)
- •1. Тем самым пл. 3 окажется перпендикулярной к пл. 1 (т. Е. Явится
- •206 Такой точкой служит точка n, взятая на следе f"о; построена ее проекция
- •3 Равны между собой и выражаются, например, отрезком а'2; взяв ось 3/4
- •3 % 1 И 3 % abc, а 4 %3 и 4 || abc. Заключительная стадия построения
- •4 Проведена параллельно пл. Abc, что и приводит к определению натурального
- •§ 34. Основы способа вращения ')
- •§ 35. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,
- •1. Пусть точка а вращается вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 (рис.
- •212). Через точку а проведена пл. , перпендикулярная к оси вращения и,
- •2. Теперь рассмотрим поворот отрезка_прямой линии вокруг заданной оси.
- •3. Поворот плоскости вокруг заданной оси сводится к повороту
- •218; Плоскость общего положения повернута на угол вокруг оси,
- •218 Упрощение состоит в том, что отпала горизонталь. Она понадобилась бы в
- •218 Пришлось бы взять две вспомогательные линии.
- •2. Если взять ось вращения, перпендикулярную к пл. 1 то можно пл.
- •§ 36. Применение способа вращения без указания на чертеже осей
- •1 И, следовательно, проекция
- •§ 37. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,
§ 18. Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения
Как построить на чертеже прямую линию, лежащую в заданной плоскости?
Это построение основано на двух положениях, известных из геометрии.
1) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,
принадлежащие данной плоскости.
2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку,
принадлежащую данной плоскости, и параллельна прямой, находящейся в этой
плоскости или параллельной ей.
Положим, что пл. а (рис. 106) определена двумя пересекающимися прямыми
АВ и СВ, а пл. -- двумя параллельными -- DE и FG. Согласно первому положе-
Рис. 106
нию прямая, пересекающая прямые, определяющие плоскость, находится в
данной плоскости.
Отсюда вытекает, что если плоскость задана следами, то прямая
принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных с ними
следах плоскости (рис. 107).
44
Положим, что пл. (рис. 106) определяется точкой А и прямой ВС.
Согласно второму положению прямая, проведенная через точку А параллельно
прямой ВС, принадлежит
Положим, что пл. (рис. 106) определяется точкой А и прямой ВС.
Согласно второму положению прямая, проведенная через точку А параллельно
прямой ВС, принадлежит пл..у. Отсюда прямая принадлежит плоскости, если она
параллельна одному из следов этой плоскости и имеет с другим следом общую
точку (рис. 108).
Примеры построений на рис. 107 и 108 не должны быть поняты так, что для
построения прямой в плоскости надо предварительно строить следы этой
плоскости. Это не требуется.
Например, на рис. 109 выполнено построение прямой AM в плоскости,
заданной точкой А и прямой, проходящей через точку L. Положим, что прямая AM
должна быть параллельна пл. 1. Построение начато с проведения проекции
А"М" перпендикулярно к линии связи А"А'. По точке М" найдена точка М', и
затем проведена проекция А'М'. Прямая AM отвечает условию: она параллельна
пл. , и лежит в данной плоскости, так как проходит через две точки (А и М),
заведомо принадлежащие этой плоскости.
Как построить на чертеже точку, лежащую в заданной плоскости? Для того
чтобы сделать это, предварительно строят прямую, лежащую в заданной
плоскости, и на этой прямой берут точку.
Рис. 109 Рис. 110
Например, требуется найти фронтальную проекцию точки D, если задана ее
горизонтальная проекция D' и известно, что точка D должна лежать в
плоскости, определяемой треугольником ABC (рис. 110).
Сначала строят горизонтальную проекцию некоторой прямой так, чтобы
точка D могла оказаться на этой прямой, а последняя была бы расположена в
данной плоскости. Для этого проводят прямую через точки А' и ХУ и отмечают
точку М', в которой прямая A'D' пересекает отрезок В'С. Построив фронтальную
.проекцию М" на В"С", получают прямую AM, расположенную в данной плоскости:
эта прямая проходит через точки А и М, из которых первая заведомо
принадлежит данной плоскости, а вторая в ней построена.
Искомая фронтальная проекция D" точки D должна быть на фронтальной
проекции прямой AM.
Другой пример дан на рис. 111, В пл, , заданной параллельными прямыми
АВ и CD, должна находиться точка К, для которой дана лишь горизонтальная
проекция -- точка К'.
45
Через точку К' проведена некоторая прямая, принимаемая в качестве
горизонтальной проекции прямой в данной плоскости. По точкам и F строим Е"
на Л*У и F" на C"D". Построенная прямая EF принадлежит пл. , так как
проходит через точки и F, заведомо принадлежащие плоскости. Если взять
точку К" на E"F", то точка К окажется в пл. .
К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, отнесем
горизонтали, фронтали1) и линии наибольшего наклона к плоскостям
проекций. Линию наибольшего наклона к пл. , будем называть линией ската
плоскости2).
Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные
горизонтальной плоскости проекций.
Построим горизонталь плоскости, заданной треугольником ABC. Требуется
провести горизонталь через вершину А (рис. 112).
Так как горизонталь плоскости есть прямая, параллельная пл. 1, то
фронтальную проекцию этой прямой получим, проведя А"К" % А"А'. Для
построения горизонтальной проекции этой горизонтали строим .точку К' и
проводим прямую через точки А' и К'.
Построенная прямая АК действительно является горизонталью данной
плоскости: эта прямая, лежит в плоскости, так как проходит через две точки,
заведомо ей принадлежащие, и параллельна плоскости проекций ,.
Теперь рассмотрим построение горизонтали плоскости, заданной следами.
Горизонтальный след плоскости есть одна из ее горизонталей ("нулевая"
горизонталь). Поэтому построение какой-либо из горизонталей плоскости
сводится
Рис. 112 Рис. 113
к проведению в этой плоскости прямой, параллельной горизонтальному
следу плоскости (рис. 108, слева). Горизонтальная проекция горизонтали
параллельна горизонтальному следу плоскости; фронтальная проекция
горизонтали параллельна оси проекций.
Фронталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные
плоскости проекций п2.
Пример построения фронтали в плоскости дан на рис. 113. Построение
выполнено аналогично построеншр горизонтали (см. рис. 112).
Пусть фронталь проходит через точку А (рис. 113). Начинаем построение с
проведения горизонтальной проекции фронтали -- прямой А'К', так как
направление
') Наряду с горизонталями и фронталями плоскости можно рассматривать
также ее профильные прямые-- прямые, лежащие в данной плоскости и
параллельные пл. пэ. Для горизонталей, фронталей и профильных прямых
встречается общее название -- линия уровня. Однако такое название отвечает
обычному представлению только о горизонтальности.