- •10. Проекции линий -- по проекциям точек, определяющих линию; кроме
- •11. Обозначение плоскостей, заданных следами:
- •12. При преoбaзoвaнии эпюра (чертежа) вращением (или совмещением) в
- •13. Плоскость проекций (картинная плоскость) в аксонометрии -- буквой
- •2) В основе этого слова латинское projectio -- бросание
- •Глава I образование проекций
- •§ 1. Проекции центральные
- •§ 2. Проекции параллельные
- •5). Так построенные проекции называются параллельными.
- •1) Перспективные проекции в программу данного курса не
- •§ 3. Метод монжа
- •1) Теперь Петербургский государственный университет путей
- •XIX столетии н. Г. Уже получила значительное научное развитие. Очевидно, для
- •Глава II точка и прямая
- •§ 4. Точка в системе двух плоскостей проекций 1,2
- •2. Проведя из а перпендикуляры к и 2, получаем проекции точки а:
- •1) Метод проекций с числовыми отметками в программу
- •1) Ёриге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо "эпюр"
- •§ 5. Точка в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3
- •15): Обозначенная буквой 3 плоскость перпендикулярна и к 1 и к 2. Ее
- •§ 6. Ортогональные проекции и система прямоугольных координат
- •2) Ordinata (лат.) -- от ordinatim ducta (лат.) -- подряд
- •3) Applicata (лат.) -- приложенная.
- •26 Показана точка к, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых
- •§ 7. Точка в четвертях и октантах пространства
- •§ 8. Образование дополнительных систем плоскостей проекций
- •1; Равном aa' и а"ах.
- •2/ 1) Введена еще ось 4/1; она выбирается согласно условиям,
- •1) Это обозначение оси соответствует ранее принятому -- х.
- •§ 9. Чертежи без указания осей проекций
- •2 В новое положение (на рис. 43 положение 45) в направлении
- •1) Биссекторная плоскость двугранного угла -- плоскость,
- •§ 10. Проекции отрезка прямой линии
- •1) Вывод см. В § 13.
- •§ 11. Особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей
- •1. Прямая параллельна плоскостям 1 и 2 (рис. 54), т. Е.
- •2. Прямая параллельна плоскостям , и 3 (рис. 55), т. Е.
- •3. Прямая параллельна плоскостям 2 и 3 (рис. 56), т. Е.
- •§ 12. Точка на прямой. Следы прямой
- •63) Задана проекция с", то, очевидно, надо разделить а'в' в том же
- •§ 13. Построение на чертеже натуральной величины
- •1Определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции а'в'
- •2А'в' равны каждый 45° (см. § 10).
- •2 Системой 4, 1, выбрав пл. 4% 1 и параллельно заданному на чертеже
- •1 || А'в1); проекция выражает
- •§ 14. Взаимное положение двух прямых
- •§ 15. О проекциях плоских углов
- •1. Если плоскость, которой расположен некоторый угол, перпендикулярна
- •2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций
- •3. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то
- •4. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна
- •2) Интересующихся доказательством обратных теорем отсылаем к
- •5. Ecли плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к
- •6. Если обе стороны любого угла, параллельны плоскости проекций, то его
- •0; С°в° || св. Пл. , проведенная через точку с перпендикулярно к св,
- •Глава III. Плоскость
- •§ 16. Различные способы задания плоскости на чертеже
- •§ 17. Следы плоскости
- •§ 18. Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения
- •1) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,
- •2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку,
- •2) Для линии ската плоскости распространено название "линия
- •108, Справа, на котором изображена пл. И прямая mb, устанавливаем, что эта
- •§ 19. Положения плоскости относительно плоскостей проекций
- •1. Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций,
- •2. Но, может быть, эта плоскость перпендикулярна к 3? Нет, горизонталь
- •110, 111, 113, 116, А также рис. 102, 104, 107, слева, 108, 115, справа,
- •117, 119, На которых плоскости выражены следами. Плоскость общего положения
- •1 2 , То рассматриваемая плоскость может быть определена как плоскость,
- •2. Если плоскости перпендикулярны лишь к одной из плоскостей проекций,
- •1, 2 С указанием оси и следов f"о и h'о
- •129). Следы ее f 0 и h0 сливаются с осью х; в этом случае необходимо иметь
- •130: Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, из которых одна (ab)
- •3. Если плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекций, то также
- •§ 20. Проведение проецирующей плоскости через прямую линию
- •§ 21. Построение проекций плоских фигур
- •1 Или к 2. Например, на рис. 123 плоскость треугольника
- •140, Проецируется на пл. 1 без искажения.
- •2) Ортоцентр треугольника.
- •Глава IV. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости
- •§ 22. Обзор взаимных положений двух плоскостей, прямой линии и
- •§ 23. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной
- •§ 24. Построение линии пересечения двух плоскостей
- •1, В своем пересечении определяют первую точку, к1, линии пересечения
- •1'2', И 3'4', следует для проекций 5'6' и 7'8' взять по одной
- •167 Показывает, что и пересекаются между собой, хотя их горизонтали
- •§ 25. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения
- •§ 26. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам
- •166). Рассмотрим теперь другой способ построения в применении к плоскостям
- •3', Через горизонтальную проекцию которой проведена прямая параллельно
- •§ 27. Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой
- •§ 28. Построение взаимно параллельных плоскостей
- •§ 29. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости
- •1) Через точку а провести плоскость (назовем ее ), перпендикулярную к
- •2) Определить точку к пересечения прямой вс с ил. ;
- •1,2 Дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы 3, 1,
- •90°. Аналогично, если пл. Составляет с пл. 2 угол ?, а прямая am,
- •§ 30. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей
- •194 Горизонтально-проецирующая плоскость проходит через точку к
- •§ 31. Построение проекций угла между прямой и плоскостью и между двумя
- •Глава V. Способы перемены плоскостей проекций и вращения
- •§ 32. Приведение прямых линий и плоских фигур
- •1) Введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия
- •2) Изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем поворота
- •§ 33. Способ перемены плоскостей проекций 1)
- •1. Тем самым пл. 3 окажется перпендикулярной к пл. 1 (т. Е. Явится
- •206 Такой точкой служит точка n, взятая на следе f"о; построена ее проекция
- •3 Равны между собой и выражаются, например, отрезком а'2; взяв ось 3/4
- •3 % 1 И 3 % abc, а 4 %3 и 4 || abc. Заключительная стадия построения
- •4 Проведена параллельно пл. Abc, что и приводит к определению натурального
- •§ 34. Основы способа вращения ')
- •§ 35. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,
- •1. Пусть точка а вращается вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 (рис.
- •212). Через точку а проведена пл. , перпендикулярная к оси вращения и,
- •2. Теперь рассмотрим поворот отрезка_прямой линии вокруг заданной оси.
- •3. Поворот плоскости вокруг заданной оси сводится к повороту
- •218; Плоскость общего положения повернута на угол вокруг оси,
- •218 Упрощение состоит в том, что отпала горизонталь. Она понадобилась бы в
- •218 Пришлось бы взять две вспомогательные линии.
- •2. Если взять ось вращения, перпендикулярную к пл. 1 то можно пл.
- •§ 36. Применение способа вращения без указания на чертеже осей
- •1 И, следовательно, проекция
- •§ 37. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,
194 Горизонтально-проецирующая плоскость проходит через точку к
перпендикулярно к плоскости, заданной треугольником ABC. Здесь
дополнительным условием явля-
77
лась перпендикулярность искомой плоскости сразу к двум плоскостям: к
пл. ABC и к пл. ,. Поэтому и ответом служит горизонтально-проецирующая
плоскость. А так как она проведена перпендикулярно к горизонтали AD, т. е. к
прямой, принадлежащей пл. ABC, то пл. перпендикулярна к пл. ABC.
Может ли перпендикулярность одноименных следов плоскостей служить
признаком перпендикулярности самих плоскостей?
К очевидным случаям, когда это так, относится взаимная
перпендикулярность двух горизонтально-проецирующих плоскостей, у которых
горизонтальные следы взаимно перпендикулярны. Также это имеет место при
взаимной перпендикулярности фронтальных следов фронтально-проецирующих
плоскостей; эти плоскости взаимно перпендикулярны.
Рассмотрим (рис. 195) горизонтально-проецирующую плоскость ,
перпендикулярную к плоскости общего положения а.
Если пл. перпендикулярна к пл. 1 и к пл. , то % h'o как к линии
пересечения пл. и пл. ,. Отсюда h'o% и, следовательно, h'o % ', как
к одной из прямых в пл. .
Итак, перпендикулярность горизонтальных следов плоскости общего
положения и горизонтально-проецирующей соответствует взаимной
перпендикулярности этих плоскостей.
Очевидно, перпендикулярность фронтальных следов фронтально-проецирующей
плоскости и плоскости общего положения также соответствует взаимной
перпендикулярности этих плоскостей.
Рис. 196
Но если одноименные следы двух плоскостей общего положения взаимно
перпендикулярны, то самые плоскости не перпендикулярны между собой, так как
здесь не соблюдается ни одно из условий, изложенных в начале этого
параграфа.
В заключение рассмотрим рис. 196. Здесь имеет место случай взаимной
перпендикулярности одноименных следов в обеих их парах и перпендикулярности
самих плоскостей: обе плоскости особого (частного) положения -- профильная
и профильно-проецирующая
§ 31. Построение проекций угла между прямой и плоскостью и между двумя
ПЛОСКОСТЯМИ
Если прямая не перпендикулярна к плоскости, то углом между прямой и
плоскостью называют угол между этой прямой и ее проекцией на данной
плоскости.
Об углах между прямой и плоскостями проекций см, § 13.
На рис. 197 изображена прямая АВ, пересекающая пл, 0 в точке D; угол
образован отрезком BD данной прямой и проекцией B°D этого отрезка на пл. 0.
78
Построение проекций угла между прямой АВ и некоторой пл. выполнено на
рис. 198. Пл. задана ее горизонталью (проекции Р"Н" и Р'Н') и фронталью
(проекции P"F" и PF).
Построение выполнено в следующем порядке:
а) найдена точка D пересечения прямой АВ с пл. о, для чего через АВ
проведена горизонтально-проецирующая плоскость ;
б) из точки А проведен перпендикуляр к пл. а;
в) найдена точка пересечения этого перпендикуляра с пл.' ос, для чего
проведена горизонтально-проецирующая плоскость ;
г) через точки D" и Е", D' и проведены прямые, чем определяются
проекции прямой АВ на пл. .
Рис. 197 Рис. 198
Угол A"D"E" представляет собой фронтальную проекцию угла между АВ и пл.
, а угол A'D Е' -- горизонтальную проекцию этого угла.
Построение проекции угла между прямой и плоскостью значительно
упрощается, если плоскость не является плоскостью общего положения, так как
в подобных случаях точка пересечения заданной прямой с плоскостью
определяется без дополнительных построений.
Две пересекающиеся между собой плоскости образуют четыре двугранных
угла. Ограничиваясь рассмотрением угла между и , показанного на рис. 199,
построим его линейный угол, для чего пересечем ребро двугранного угла
плоскостью , перпендикулярной к .
Построение проекций линейного угла выполнено на рис. 200. Пл. ос задана
треугольником , пл. -- треугольником .
а) Построена пл. % , проходящая через точку N (пл. задана ее
фронталью NF и горизонталью ).
79
б) Построена линия пересечения плоскостей и (прямая E); так как
пл. проведена через точку N пл. о, то надо найти только точку Е, для чего
взята вспо-
могательная плоскость .
в) Найдена линия пересечения плоскостей и (прямая NG); здесь также
надо было найти только точку G (вспомогательная пл. ).
Точка N является вершиной искомого линейного угла, угол E'N'G'
представляет собой горизонтальную проекцию этого угла, угол E'N"G" -- его
фронтальную проекцию.
На рис. 195 построены проекции линейного угла, измеряющего двугранный
угол, образуемый пл. с плоскостью проекций к,. Так как для получения
линейного угла надо провести плоскость, перпендикулярную к ребру двугранного
угла, то для получения утла наклона пл. к пл. , проведена пл. ,
перпендикулярная к следу h'o. Аналогично, для получения угла между пл. и
пл. 2 надо было бы провести плоскость перпендикулярно к. следу f"o.
На рис. 195 фронтальной проекцией искомого угла является угол ""', а
горизонтальная проекция угла совпадает со следом ". Величина угла может
быть определена построением прямоугольного,треугольника по катетам "' и
''.
ВОПРОСЫ К §§ 29-31
1. Как располагаются проекции перпендикуляра к плоскости?
2. Как взаимно располагаются горизонтальные проекции перпендикуляра к
плоскости в ее линии ската, проведенной через точку пересечения
перпендикуляра с плоскостью?
3. Как провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой (через
точку на прямой и через точку вне прямой)?
4. Как провести перпендикуляр из точки на прямую общего положения (при
помощи плоскости, перпендикулярной к прямой, и при помощи введения в систему
к,, я- дополнительной плоскости проекций)?
5. Как построить взаимно перпендикулярные плоскости?
6. В каких случаях взаимная перпендикулярность одной пары одноименных
следов плоскостей соответствует взаимной перпендикулярности самих
плоскостей?
7. В каком случае в системе 1,2 взаимная перпендикулярность
плоскостей выражается взаимной перпендикулярностью фронтальных следов? В
каком случае в системе ·, л2 взаимная перпендикулярность плоскостей
выражается взаимной перпендикулярностью горизонтальных следов?
8. Перпендикулярны ли плоскости общего положения одна к другой, если их
одноименные следы взаимно перпендикулярны?
9. Что называется углом между прямой и плоскостью и какие действия надо
выполнить для построения на чертеже проекций этого угла?
Какие действия надо выполнить для построения на чертеже проекций
линейного угла для данного двугранного?