- •10. Проекции линий -- по проекциям точек, определяющих линию; кроме
- •11. Обозначение плоскостей, заданных следами:
- •12. При преoбaзoвaнии эпюра (чертежа) вращением (или совмещением) в
- •13. Плоскость проекций (картинная плоскость) в аксонометрии -- буквой
- •2) В основе этого слова латинское projectio -- бросание
- •Глава I образование проекций
- •§ 1. Проекции центральные
- •§ 2. Проекции параллельные
- •5). Так построенные проекции называются параллельными.
- •1) Перспективные проекции в программу данного курса не
- •§ 3. Метод монжа
- •1) Теперь Петербургский государственный университет путей
- •XIX столетии н. Г. Уже получила значительное научное развитие. Очевидно, для
- •Глава II точка и прямая
- •§ 4. Точка в системе двух плоскостей проекций 1,2
- •2. Проведя из а перпендикуляры к и 2, получаем проекции точки а:
- •1) Метод проекций с числовыми отметками в программу
- •1) Ёриге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо "эпюр"
- •§ 5. Точка в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3
- •15): Обозначенная буквой 3 плоскость перпендикулярна и к 1 и к 2. Ее
- •§ 6. Ортогональные проекции и система прямоугольных координат
- •2) Ordinata (лат.) -- от ordinatim ducta (лат.) -- подряд
- •3) Applicata (лат.) -- приложенная.
- •26 Показана точка к, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых
- •§ 7. Точка в четвертях и октантах пространства
- •§ 8. Образование дополнительных систем плоскостей проекций
- •1; Равном aa' и а"ах.
- •2/ 1) Введена еще ось 4/1; она выбирается согласно условиям,
- •1) Это обозначение оси соответствует ранее принятому -- х.
- •§ 9. Чертежи без указания осей проекций
- •2 В новое положение (на рис. 43 положение 45) в направлении
- •1) Биссекторная плоскость двугранного угла -- плоскость,
- •§ 10. Проекции отрезка прямой линии
- •1) Вывод см. В § 13.
- •§ 11. Особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей
- •1. Прямая параллельна плоскостям 1 и 2 (рис. 54), т. Е.
- •2. Прямая параллельна плоскостям , и 3 (рис. 55), т. Е.
- •3. Прямая параллельна плоскостям 2 и 3 (рис. 56), т. Е.
- •§ 12. Точка на прямой. Следы прямой
- •63) Задана проекция с", то, очевидно, надо разделить а'в' в том же
- •§ 13. Построение на чертеже натуральной величины
- •1Определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции а'в'
- •2А'в' равны каждый 45° (см. § 10).
- •2 Системой 4, 1, выбрав пл. 4% 1 и параллельно заданному на чертеже
- •1 || А'в1); проекция выражает
- •§ 14. Взаимное положение двух прямых
- •§ 15. О проекциях плоских углов
- •1. Если плоскость, которой расположен некоторый угол, перпендикулярна
- •2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций
- •3. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то
- •4. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна
- •2) Интересующихся доказательством обратных теорем отсылаем к
- •5. Ecли плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к
- •6. Если обе стороны любого угла, параллельны плоскости проекций, то его
- •0; С°в° || св. Пл. , проведенная через точку с перпендикулярно к св,
- •Глава III. Плоскость
- •§ 16. Различные способы задания плоскости на чертеже
- •§ 17. Следы плоскости
- •§ 18. Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения
- •1) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,
- •2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку,
- •2) Для линии ската плоскости распространено название "линия
- •108, Справа, на котором изображена пл. И прямая mb, устанавливаем, что эта
- •§ 19. Положения плоскости относительно плоскостей проекций
- •1. Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций,
- •2. Но, может быть, эта плоскость перпендикулярна к 3? Нет, горизонталь
- •110, 111, 113, 116, А также рис. 102, 104, 107, слева, 108, 115, справа,
- •117, 119, На которых плоскости выражены следами. Плоскость общего положения
- •1 2 , То рассматриваемая плоскость может быть определена как плоскость,
- •2. Если плоскости перпендикулярны лишь к одной из плоскостей проекций,
- •1, 2 С указанием оси и следов f"о и h'о
- •129). Следы ее f 0 и h0 сливаются с осью х; в этом случае необходимо иметь
- •130: Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, из которых одна (ab)
- •3. Если плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекций, то также
- •§ 20. Проведение проецирующей плоскости через прямую линию
- •§ 21. Построение проекций плоских фигур
- •1 Или к 2. Например, на рис. 123 плоскость треугольника
- •140, Проецируется на пл. 1 без искажения.
- •2) Ортоцентр треугольника.
- •Глава IV. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости
- •§ 22. Обзор взаимных положений двух плоскостей, прямой линии и
- •§ 23. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной
- •§ 24. Построение линии пересечения двух плоскостей
- •1, В своем пересечении определяют первую точку, к1, линии пересечения
- •1'2', И 3'4', следует для проекций 5'6' и 7'8' взять по одной
- •167 Показывает, что и пересекаются между собой, хотя их горизонтали
- •§ 25. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения
- •§ 26. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам
- •166). Рассмотрим теперь другой способ построения в применении к плоскостям
- •3', Через горизонтальную проекцию которой проведена прямая параллельно
- •§ 27. Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой
- •§ 28. Построение взаимно параллельных плоскостей
- •§ 29. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости
- •1) Через точку а провести плоскость (назовем ее ), перпендикулярную к
- •2) Определить точку к пересечения прямой вс с ил. ;
- •1,2 Дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы 3, 1,
- •90°. Аналогично, если пл. Составляет с пл. 2 угол ?, а прямая am,
- •§ 30. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей
- •194 Горизонтально-проецирующая плоскость проходит через точку к
- •§ 31. Построение проекций угла между прямой и плоскостью и между двумя
- •Глава V. Способы перемены плоскостей проекций и вращения
- •§ 32. Приведение прямых линий и плоских фигур
- •1) Введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия
- •2) Изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем поворота
- •§ 33. Способ перемены плоскостей проекций 1)
- •1. Тем самым пл. 3 окажется перпендикулярной к пл. 1 (т. Е. Явится
- •206 Такой точкой служит точка n, взятая на следе f"о; построена ее проекция
- •3 Равны между собой и выражаются, например, отрезком а'2; взяв ось 3/4
- •3 % 1 И 3 % abc, а 4 %3 и 4 || abc. Заключительная стадия построения
- •4 Проведена параллельно пл. Abc, что и приводит к определению натурального
- •§ 34. Основы способа вращения ')
- •§ 35. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,
- •1. Пусть точка а вращается вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 (рис.
- •212). Через точку а проведена пл. , перпендикулярная к оси вращения и,
- •2. Теперь рассмотрим поворот отрезка_прямой линии вокруг заданной оси.
- •3. Поворот плоскости вокруг заданной оси сводится к повороту
- •218; Плоскость общего положения повернута на угол вокруг оси,
- •218 Упрощение состоит в том, что отпала горизонталь. Она понадобилась бы в
- •218 Пришлось бы взять две вспомогательные линии.
- •2. Если взять ось вращения, перпендикулярную к пл. 1 то можно пл.
- •§ 36. Применение способа вращения без указания на чертеже осей
- •1 И, следовательно, проекция
- •§ 37. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,
§ 26. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам
ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ С ПЛОСКОСТЬЮ
В § 24 был изложен общий способ построения линии, пересечения двух
плоскостей, а именно применение вспомогательных секущих плоскостей (см. рис.
166). Рассмотрим теперь другой способ построения в применении к плоскостям
общего положения. Этот способ заключается том, что находят точки
пересечения двух
70
прямых, принадлежащих одной из плоскостей, с другой плоскостью.
Следовательно, надо уметь строить точку пересечения прямой линии с
плоскостью общего положения, что изложено в § 25.
На рис. 177 показано пересечение треугольника ABC плоскостью, заданной
двумя параллельными прямыми (DE \\ FG). Построение свелось к построению
точек ki и К2, в которых прямые DE и F G пересекают плоскость треугольника,
и к проведению через эти точки отрезка прямой линии. Представляя себе, что
через DE и FG проведены фронтально-проецирующие плоскости, находим
параллельные прямые, по которым эти плоскости пересекают треугольник. Одна
из них выражена проекциями 1' 2' и 1" 2"; для другой показана одна точка 3",
3', Через горизонтальную проекцию которой проведена прямая параллельно
проекции 1 2'. Определив положение проекций и К'2, находим проекции К'[ и
К2 и проекции отр. К1К2.
Конечно, и в рассмотренном случае применим общий способ (см. рис. 166),
но пришлось бы провести больше линий, чем это сделано на рис. 177.
На рис. 178 дано построение линии пересечения двух треугольников ABC и
DEF с указанием видимых и невидимых участков этих треугольников.
Прямая KiK2 построена по точкам пересечения сторон АС и ВС треугольника
ABC с плоскостью треугольника DEF. Вспомогательная фронтально-проецирующая
плоскость, проведенная через А С (на чфтеже эта плоскость особо не
обозначена), пересекает треугольник DEF по прямой с проекциями 1"2" и 1'2';
в пересечении проекций А'С' и 1'2' получена горизонтальная проекция точки Kt
пересечения прямой АС и треугольника DEF, затем построена фронтальная
проекция К"1. Так же .найдена и точка К2,
В примерах на рис. 177 и 178 мы встретились с вопросом о разделении
плоских фигур на части, видимые и невидимые для зрителя, так как плоскости
считаются
с
( -.·-
Рис.178 Рис.179
непрозрачными. На чертежах это показано при помощи штриховки
соответствующих частей треугольников ABC. Видимость определена на основании
таких же рассуждений, какие имели место в примере, рассмотренном на рис.
173.
На рис. 179 приведен еще один пример построения линии пересечения двух
треугольников. В данном случае с одинаковым основанием можно считать, что
треугольник ABC проходит в прорезь в треугольнике DEF или треугольник DEF
проходит в прорезь в треугольнике ABC: надо лишь условиться, в каком из
треугольников считать эту прорезь по прямой КгК2. Между тем в случае,
приведенном на рис. 178, прорезь только в треугольнике DEF и треугольник ABC
проходит через нее.
Самое построение на рис. 179 сводится к нахождению точки К, и точки N 2
при помощи фронтально-проецирующих плоскостей 1, и 2.
Следует еще раз обратить внимание на то, что применение штриховых линий
вместо сплошных, например на рис. 159, 161, 164, 165, 173--179, подсказано
желанием сделать изображения более наглядными. Если исходить из понятия о
проекции как геометрическом образе, то вопрос о "прозрачности" или
"непрозрачности", о "видимости" и "невидимости" отпал бы: все надо было бы
изображать сплошными линиями. Но для придания чертежам наглядности введены
некоторые условности, в том числе штриховые линии.
ВОПРОСЫ К §§ 25-26
1. В чем заключается в общем случае способ построения точки пересечения
прямой с, плоскостью?
2. Какие действия и в какой последовательности надо выполнить для
построения этой точки (см. вопрос 1)?
3. Как определить "видимость" при пересечении прямой с плоскостью?
4. Как можно построить прямую пересечения двух плоскостей, если не
применять общего способа, описанного в § 24?
5. Как определить "видимость" в случае взаимного пересечения двух
плоскостей?
6. Чем отличаются случаи, рассмотренные на рис. 178 и 179?