- •10. Проекции линий -- по проекциям точек, определяющих линию; кроме
- •11. Обозначение плоскостей, заданных следами:
- •12. При преoбaзoвaнии эпюра (чертежа) вращением (или совмещением) в
- •13. Плоскость проекций (картинная плоскость) в аксонометрии -- буквой
- •2) В основе этого слова латинское projectio -- бросание
- •Глава I образование проекций
- •§ 1. Проекции центральные
- •§ 2. Проекции параллельные
- •5). Так построенные проекции называются параллельными.
- •1) Перспективные проекции в программу данного курса не
- •§ 3. Метод монжа
- •1) Теперь Петербургский государственный университет путей
- •XIX столетии н. Г. Уже получила значительное научное развитие. Очевидно, для
- •Глава II точка и прямая
- •§ 4. Точка в системе двух плоскостей проекций 1,2
- •2. Проведя из а перпендикуляры к и 2, получаем проекции точки а:
- •1) Метод проекций с числовыми отметками в программу
- •1) Ёриге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо "эпюр"
- •§ 5. Точка в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3
- •15): Обозначенная буквой 3 плоскость перпендикулярна и к 1 и к 2. Ее
- •§ 6. Ортогональные проекции и система прямоугольных координат
- •2) Ordinata (лат.) -- от ordinatim ducta (лат.) -- подряд
- •3) Applicata (лат.) -- приложенная.
- •26 Показана точка к, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых
- •§ 7. Точка в четвертях и октантах пространства
- •§ 8. Образование дополнительных систем плоскостей проекций
- •1; Равном aa' и а"ах.
- •2/ 1) Введена еще ось 4/1; она выбирается согласно условиям,
- •1) Это обозначение оси соответствует ранее принятому -- х.
- •§ 9. Чертежи без указания осей проекций
- •2 В новое положение (на рис. 43 положение 45) в направлении
- •1) Биссекторная плоскость двугранного угла -- плоскость,
- •§ 10. Проекции отрезка прямой линии
- •1) Вывод см. В § 13.
- •§ 11. Особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей
- •1. Прямая параллельна плоскостям 1 и 2 (рис. 54), т. Е.
- •2. Прямая параллельна плоскостям , и 3 (рис. 55), т. Е.
- •3. Прямая параллельна плоскостям 2 и 3 (рис. 56), т. Е.
- •§ 12. Точка на прямой. Следы прямой
- •63) Задана проекция с", то, очевидно, надо разделить а'в' в том же
- •§ 13. Построение на чертеже натуральной величины
- •1Определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции а'в'
- •2А'в' равны каждый 45° (см. § 10).
- •2 Системой 4, 1, выбрав пл. 4% 1 и параллельно заданному на чертеже
- •1 || А'в1); проекция выражает
- •§ 14. Взаимное положение двух прямых
- •§ 15. О проекциях плоских углов
- •1. Если плоскость, которой расположен некоторый угол, перпендикулярна
- •2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций
- •3. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то
- •4. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна
- •2) Интересующихся доказательством обратных теорем отсылаем к
- •5. Ecли плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к
- •6. Если обе стороны любого угла, параллельны плоскости проекций, то его
- •0; С°в° || св. Пл. , проведенная через точку с перпендикулярно к св,
- •Глава III. Плоскость
- •§ 16. Различные способы задания плоскости на чертеже
- •§ 17. Следы плоскости
- •§ 18. Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения
- •1) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,
- •2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку,
- •2) Для линии ската плоскости распространено название "линия
- •108, Справа, на котором изображена пл. И прямая mb, устанавливаем, что эта
- •§ 19. Положения плоскости относительно плоскостей проекций
- •1. Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций,
- •2. Но, может быть, эта плоскость перпендикулярна к 3? Нет, горизонталь
- •110, 111, 113, 116, А также рис. 102, 104, 107, слева, 108, 115, справа,
- •117, 119, На которых плоскости выражены следами. Плоскость общего положения
- •1 2 , То рассматриваемая плоскость может быть определена как плоскость,
- •2. Если плоскости перпендикулярны лишь к одной из плоскостей проекций,
- •1, 2 С указанием оси и следов f"о и h'о
- •129). Следы ее f 0 и h0 сливаются с осью х; в этом случае необходимо иметь
- •130: Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, из которых одна (ab)
- •3. Если плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекций, то также
- •§ 20. Проведение проецирующей плоскости через прямую линию
- •§ 21. Построение проекций плоских фигур
- •1 Или к 2. Например, на рис. 123 плоскость треугольника
- •140, Проецируется на пл. 1 без искажения.
- •2) Ортоцентр треугольника.
- •Глава IV. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости
- •§ 22. Обзор взаимных положений двух плоскостей, прямой линии и
- •§ 23. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной
- •§ 24. Построение линии пересечения двух плоскостей
- •1, В своем пересечении определяют первую точку, к1, линии пересечения
- •1'2', И 3'4', следует для проекций 5'6' и 7'8' взять по одной
- •167 Показывает, что и пересекаются между собой, хотя их горизонтали
- •§ 25. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения
- •§ 26. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам
- •166). Рассмотрим теперь другой способ построения в применении к плоскостям
- •3', Через горизонтальную проекцию которой проведена прямая параллельно
- •§ 27. Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой
- •§ 28. Построение взаимно параллельных плоскостей
- •§ 29. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости
- •1) Через точку а провести плоскость (назовем ее ), перпендикулярную к
- •2) Определить точку к пересечения прямой вс с ил. ;
- •1,2 Дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы 3, 1,
- •90°. Аналогично, если пл. Составляет с пл. 2 угол ?, а прямая am,
- •§ 30. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей
- •194 Горизонтально-проецирующая плоскость проходит через точку к
- •§ 31. Построение проекций угла между прямой и плоскостью и между двумя
- •Глава V. Способы перемены плоскостей проекций и вращения
- •§ 32. Приведение прямых линий и плоских фигур
- •1) Введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия
- •2) Изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем поворота
- •§ 33. Способ перемены плоскостей проекций 1)
- •1. Тем самым пл. 3 окажется перпендикулярной к пл. 1 (т. Е. Явится
- •206 Такой точкой служит точка n, взятая на следе f"о; построена ее проекция
- •3 Равны между собой и выражаются, например, отрезком а'2; взяв ось 3/4
- •3 % 1 И 3 % abc, а 4 %3 и 4 || abc. Заключительная стадия построения
- •4 Проведена параллельно пл. Abc, что и приводит к определению натурального
- •§ 34. Основы способа вращения ')
- •§ 35. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,
- •1. Пусть точка а вращается вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 (рис.
- •212). Через точку а проведена пл. , перпендикулярная к оси вращения и,
- •2. Теперь рассмотрим поворот отрезка_прямой линии вокруг заданной оси.
- •3. Поворот плоскости вокруг заданной оси сводится к повороту
- •218; Плоскость общего положения повернута на угол вокруг оси,
- •218 Упрощение состоит в том, что отпала горизонталь. Она понадобилась бы в
- •218 Пришлось бы взять две вспомогательные линии.
- •2. Если взять ось вращения, перпендикулярную к пл. 1 то можно пл.
- •§ 36. Применение способа вращения без указания на чертеже осей
- •1 И, следовательно, проекция
- •§ 37. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,
1) Перспективные проекции в программу данного курса не
входят. Интересующихся отсылаем к книгам: Глаголев Н. А. Начертательная
геометрия.- М: Гостехиздат, 1953; Добряков А. И. Курс начертательной
геометрии.--М.: ГТТИ, 1931.
12
Но сравнительно большая простота построения и свойства параллельных
проекций, обеспечивающие сохранение натуральных размерных соотношений,
объясняют широкое применение параллельного проецирования, несмотря на
условность, указанную выше.
§ 3. Метод монжа
Сведения и приемы построений, обусловливаемые потребностью в плоских
изображениях пространственных форм, накапливались постепенно еще с древних
времен. В течение продолжительного периода плоские изображения выполнялись
преимущественно как изображения наглядные. С развитием техники
первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего
точность и удобоизмеримость изображений, т. е. возможность точно установить
место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и
путем простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно
накопившиеся отдельные правила и приемы построений таких изображений были
приведены в систему и развиты в труде французского ученого о ц ж а,
изданном в 1799 г. под названием "Geometric' descriptive".
Гаспар Монж (1746--1818) вошел в историю как крупный французский
геометр конца XVIII и начала XIX вв., инженер, общественный и
государственный деятель в период революции 1789--1794 гг. и правления
Наполеона I, один из основателей знаменитой Политехнической школы в Париже,
участник работы по введению метрической системы мер и весов. Будучи одним из
министров в революционном правительстве Франции, Монж много сделал для ее
защиты от иностранной интервенции и для победы революционных войск. Монж не
сразу получил возможность опубликовать свой труд с изложением разработанного
им метода. Учитывая большое практическое значение этого метода для
выполнения чертежей объектов военного значения и не желая, чтобы метод Монжа
стал известен вне границ Франции, ее правительство запретило печатание
книги. Лишь в конце XVIII столетия это запрещение было снято. После
реставрации Бурбонов Гаспар Монж подвергся гонению, вынужден был скрываться
и кончил свою жизнь в нищете. Изложенный Мон-жем метод -- метод
параллельного проецирования (причем берутся прямоугольные проекции на две
взаимно перпендикулярные плоскости проекций) -- обеспечивая выразительность,
точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и
остается основным методом составления технических чертежей.
Слово прямоугольный часто заменяют словом ортогональный, образованным
из слов древнегреческого языка, обозначающих "прямой" и "угол". В дальнейшем
изложении термин ортогональные проекции будет применяться для обозначения
системы прямоугольных проекций на взаимно перпендикулярных плоскостях.
В данном курсе преимущественно рассматриваются прямоугольные проекции.
В случае применения параллельных косоугольных проекций это будет каждый раз
оговариваться.
Начертательная геометрия (н. г.) стала предметом преподавания в нашей
стране с 1810 г., когда в только что основанном Институте корпуса инженеров
путей сообщения начались занятия наряду с другими дисциплинами учебного
плана и по начертательной геометрии. Это было вызвано все возрастающим ее
практическим значением.
В Институте корпуса инженеров путей сообщения1) протекала
преподавательская деятельность окончившего этот институт в 1814 г. Якова
Александровича Севастьянова (1796--1849), с именем которого связано
появление в России первых сочинений по н. г., сначала переводных с
французского языка, а затем первого оригинального труда под названием
"Основания начертательной геометрии" (1821 г.), в основном посвященного
изложению метода ортогональных проекций.