- •Кафедра гуманитарных и естественнонаучных дисциплин а.Б. Дюбуа, с.Н. Машнина математиЧеский анализ: интегральное исчисление функции одной переменной
- •Рязань 2011
- •Часть 1. Неопределенный интеграл
- •1. Простейшие приёмы интегрирования
- •2. Основные приёмы интегрирования
- •2. 1. Замена переменных в неопределенном интеграле
- •2. 2. Интегрирование по частям
- •2.3. Интегрирование простых дробей
- •2.4. Интегрирование рациональных функций
- •2.5. Интегрирование иррациональных функций
- •2.6. Интегрирование тригонометрических выражений
- •2.7. Интегрирование выражений, содержащих гиперболические функции
- •Задания для самостоятельного решения
- •1. Простейшие приёмы интегрирования
- •2. Основные приёмы интегрирования
- •Ответы:
- •1. Простейшие приёмы интегрирования
- •2. Основные приёмы интегрирования
2.4. Интегрирование рациональных функций
Дробно-рациональной функцией (дробью) называется выражение вида
где и — многочлены степени и , не имеющие общих корней, т.е.
Дробь называется правильной если ; неправильной в противном случае. Каждую неправильную дробь можно привести к правильной путем исключения целой части, интегрирование которой не представляет сложностей.
В курсе высшей алгебры доказывается теорема, о том, что любая правильная дробь может быть представлена в виде конечного числа простых дробей.
Если — корни уравнения , а — их соответствующие кратности, так что
то дробь представляется в виде
где числители отдельных дробей определяются из системы линейных уравнений после приведения к общему знаменателю и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях с (метод неопределенных коэффициентов).
Если — простые корни уравнения , т.е. , то
Если некоторые корни уравнения мнимы, то, соединяя вместе элементарные дроби, соответствующие сопряженным корням, можно после некоторых преобразований соответствующие пары дробей представить в виде действительных дробей вида
.
и методом неопределенных коэффициентов найти неизвестные и
Таким образом, интегрирование правильной рациональной дроби приводится к интегралам вида
и
рассмотренных в предыдущем п.3.
Примеры:
2.4.1. Найти интеграл: .
1. В подынтегральном выражении
максимальная степень при переменной в числителе равна максимальной степени при переменной в знаменателе. Поэтому подынтегральная дробь – неправильная. Выполняя деление на , получаем
следовательно,
.
2. Так как подынтегральная функция — правильная рациональная дробь, а корни её знаменателя являются вещественными и простыми (их кратность равна единице), то
,
откуда
.
Сравнивая коэффициенты при , , (свободные члены) в тождестве, получаем систему
решение которой , , .
Тогда,
.
2.4.2. Найти интеграл:
Так как подынтегральная функция — правильная рациональная дробь, а корни её знаменателя являются вещественными, то представляя в виде суммы простых дробей
,
откуда
.()
Сравнивая коэффициенты при , , , (свободные члены) в тождестве, получаем систему
решение которой .
Тогда
.
2.4.3. Найти интеграл:
Подынтегральная функция — правильная дробь и представляя её в виде суммы простых дробей
,
откуда
,
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему
решение которой .
Тогда
2.4.4. Найти интеграл:
■ Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет различные действительные корни.
Представим её в виде суммы элементарных дробей:
.
Откуда: ;
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях и решим систему линейных уравнений:
Первоначальный интеграл примет вид:
.◄
2.5. Интегрирование иррациональных функций
2.5.1. Интегралы вида
где — рациональные числа, приводятся к интегралам от рациональных функций подстановкой
где общий знаменатель дробей .
Примеры.
2.5.1.1. Найти интеграл:
Положим , тогда , т. е. ;
Представляя рациональную функцию как сумму простsх дробей, получим:
2.5.1.2. Найти интеграл:
Положим , тогда , т. е. . Первоначальный интеграл примет вид:
.
2.5.1.3. Найти интеграл:
Подынтегральную функцию преобразуем к виду:
.
Полагая , имеем:
, , ,
тогда:
2.5.2. Интегралы вида
(интегралы от биномиальных дифференциалов), где — действительные числа, а — рациональные, выражаются в элементарных функциях только в следующих случаях:
(а) когда — целое число; тогда этот интеграл рационализируется подстановкой , где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей и .
(б) когда — целое число, то подстановкой этот интеграл преобразуется к виду
В этом случае рационализация подынтегрального выражения осуществляется подстановкой
,
где - знаменатель дроби .
(в) когда — целое число, то при помощи той же подстановки данный интеграл приводится к
Здесь мы будем использовать подстановку
.
Примеры:
2.5.2.1. Найти интеграл: .
■ В подынтегральном выражении – целое число.
Здесь случай (а). Применим подстановку:
; . Тогда ; . Здесь 6 – наименьшее общее кратное чисел 2 и 3.
Первоначальный интеграл примет вид:
.
И, наконец, переходя к первоначальной переменной , получим:
.◄
2.5.2.2. Найти интеграл: .
■ Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:
.
Тогда первоначальный интеграл примет вид:
.
- целое число. Имеем место случай (a). Применим подстановку: ; т. е. , получим: . Откуда
; .
Следовательно, .
С учётом подстановки первоначальный интеграл примет вид:
Знаменатель подынтегральной дроби имеет действительные корни.
Разложим подынтегральную функцию: на сумму простых дробей:
.
Приведём к общему знаменателю и приравняем числители обеих частей уравнения:
;
Сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях :
;
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях и решим систему уравнений:
Тогда исходный интеграл примет вид:
=
.◄
2.5.2.3. Найти интеграл: .
■ Преобразуем подынтегральную функцию: .
В интеграле - целое число.
Имеем случай (б). Применим подстановку Чебышева или .
Тогда ; ; ; ;
.
Тогда исходный интеграл примет вид:
.◄
2.5.2.4. Найти интеграл:
Перепишем подынтегральное выражение в виде:
.
При , , и . Очевидно, имеет место случай (в). Так как , то полагая , получаем , откуда
.
Следовательно,
.
2.5.2.5. Найти интеграл:
Перепишем подынтегральное выражение в виде:
.
При , , и . Очевидно, имеет место случай (в). Так как , то полагая , получаем , откуда
.
Следовательно,
2.5.2.6. Найти интеграл:
■ Преобразуем подынтегральную функцию:
.
В интеграле - целое число. Имеем случай (б). Применим подстановку Чебышева: или . Тогда ;
Тогда исходный интеграл примет вид:
.
Перейдём к первоначальной переменной :
Так как , то
.◄
2.5.2.7. Найти интеграл: .
■ Преобразуем подынтегральную функцию:
.
Тогда исходный интеграл примет вид:
.
В интеграле - целое число. Имеем случай (б). Положим или . Дифференцируя последнее равенство, получаем: . Откуда: . С учётом замены первоначальный интеграл примет вид:
.
Подынтегральная функция - рациональная дробь. Разложим знаменатель дроби на множители: .
Так как один корень знаменателя – действительный, а другой не является действительным, представим подынтегральную дробь в виде суммы простых дробей:
.
Приведём к общему знаменателю и приравняем числители обеих частей уравнения:
;
;
Сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях :
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях .
.
Получим систему уравнений:
Следовательно,
.
Введём новую переменную , .
Тогда интеграл примет вид:
.◄
2.5.2.8. Рационализация подынтегрального выражения в интегралах вида
достигается с помощью, по крайней мере, одной из следующих трех подстановок, называемых подстановками Эйлера
(а) при ;
(б) при ;
(в) при условии, что корни и уравнения действительны.
Следует иметь в виду, что подстановки (а) – (в) часто приводят к громоздким вычислениям. Поэтому обычно применяют другие способы.
Заметим, что подынтегральную функцию можно представить в виде
,
где и - рациональные дроби. Записывая в виде суммы многочлена и суммы простых дробей, сведем интеграл к линейной комбинации интегралов следующих трех типов:
(а) ;
(б) , ;
(в) , , .
При нахождении интеграла (а), где — многочлен степени , удобно использовать формулу
.
В этой формуле — многочлен степени не выше , — некоторое число. Дифференцируя тождество и умножая затем обе части получаемого соотношения на , находим
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , вычислим коэффициенты многочлена и число . Интеграл в правой части сводится к табличному с помощью линейной подстановки.
Рассмотрим случай (б). Подстановкой этот интеграл сводится к интегралу (а).
Рассмотрим интеграл (в). Пусть существует число такое, что для всех выполняется равенство , т.е. , , то интеграл (в) можно представить в виде линейной комбинации интегралов
и .
Интеграл сводится к табличному, а интеграл подстановкой Абеля
сводится к интегралу от многочлена.
Если , то используется подстановка
,
где числа и подбираются такими, чтобы коэффициенты при в квадратных трехчленах подынтегральной функции обратились в нуль. При этом интеграл (в) примет вид
, ()
где — многочлен степени , .
Если , но , то можно применить подстановку .
Чтобы найти интеграл, разложим правильную рациональную дробь на простые дроби и представим интеграл в виде линейной комбинации интегралов вида
и .
Интеграл вычисляется с помощью подстановки , а интеграл — с помощью подстановки Абеля .
Примеры:
2.5.1. Найти интеграл:
Данный интеграл относится к случаю (а).
Полагаем
.
Продифференцируем это тождество. Получим:
,
Откуда получаем:
Для нахождения неопределённых коэффициентов получим систему уравнений:
Откуда: .
Следовательно,
2.5.2. Найти интеграл:
Данный интеграл относится к случаю (б). Введём подстановку .
Тогда интеграл приводится к виду, рассмотренному в предыдущей задаче.
Положим тогда и для имеем:
,
2.5.3. Найти интеграл:
Данный интеграл относится к случаю (в).
Полагаем
,
Тогда:
,
Откуда:
.
Дифференцируя равенство , получим:
,
Откуда:
.
Итак,
.
Поэтому:
.
2.5.4. Найти интеграл .
Данный интеграл относится к (в), причём . Положим . Подберём числа и так, чтобы коэффициенты при в квадратных трехчленах подынтегральной функции обратились в нуль. Так как
,
,
то, приравнивая к нулю коэффициенты при в числителях этих дробей, получаем систему
решение которой , .
Следовательно, искомая замена . Тогда имеем
, ,
числитель преобразуется как
, ,
а сам интеграл
,
где
и .
Интеграл вычисляется при помощи замены . Тогда, , . То есть, вычисление интеграла сводится к табличному
.
Для вычисления сделаем подстановку или . Дифференцируя, получаем
,
а с учётом подстановки
или .
Кроме того, из следует . Таким образом, вычисление сводится к табличному
.
Объединяя вычисления, окончательно получаем
, где .