2.6. Интегрирование тригонометрических выражений
Интегралы вида
могут быть всегда приведены к интегралам от рациональных функций при помощи подстановки
При этом функции подынтегрального выражения выражаются через новые переменные
;
;
Если при этом
подынтегральная функция
удовлетворяет соотношению
то выгодно применить
подстановку
.
Например, с помощью этой подстановки
интеграл
где
— нечетное число, а
— четное, с соответствующей заменой
приводится к интегралу от рациональной функции.
Если эта функция удовлетворяет соотношению
то выгодно применить
подстановку
.
Например, с помощью этой подстановки
интеграл
где — четное число, а — нечетное, с соответствующей заменой
приводится к интегралу от рациональной функции.
Если эта функция удовлетворяет соотношению
то выгодно применить
подстановку
.
Например, с помощью этой подстановки
интеграл
где
— четные числа, с соответствующей
заменой
;
;
приводится к интегралу от рациональной функции.
Примеры:
2.6.1.
Найти интеграл:
.
■ Подынтегральная
функция является нечётной относительно
синуса и косинуса. Применим подстановку:
,
тогда
.
Первоначальный интеграл примет вид:
.◄
2.6.2.
Найти интеграл:
.
■ Подынтегральная
функция нечётная относительно косинуса.
Интеграл рационализируется с помощью
подстановки:
.
Тогда первоначальный интеграл примет вид:
.◄
2.6.3.
Найти интеграл:
.
■ Подынтегральная функция нечётная относительно синуса. Рационализируется с помощью подстановки:
.
С учётом замены первоначальный интеграл примет вид:
.
Выделяя целую часть в подынтегральном выражении, получим:
.◄
2.6.4. Найти интеграл:
■ Подынтегральная функция нечётная относительно косинуса. Рационализируется интеграл с помощью подстановки:
.
Исходный интеграл примет вид:
.◄
2.6.5.
Найти интеграл:
■ Подынтегральная функция чётная относительно синуса и косинуса.
Применим подстановку:
.
С учётом подстановки первоначальный интеграл примет вид:
.
Подынтегральная
функция
– рациональная дробь.
Разложим её на сумму простых дробей:
.
;
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями при :
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях .
.
Решим систему линейных уравнений:
Тогда первоначальный интеграл примет вид:
.◄
2.6.6.
Найти интеграл:
■ Подынтегральная функция чётная относительно синуса и косинуса.
Введём новую переменную:
С учётом подстановки первоначальный интеграл примет вид:
Выделим в знаменателе дроби неполный квадрат:
.
Введём новую переменную:
Подставив в знаменатель дроби исходного интеграла неполный квадрат и новую переменную, получим:
.◄
2.6.7.
Найти интеграл:
■ Подынтегральная функция - нечётная относительно косинуса. Применим подстановку:
С учётом введения новой переменной исходный интеграл примет вид:
.◄
2.6.8.
Найти интеграл:
■ Подынтегральная функция - нечётная относительно косинуса и синуса.
Преобразуем её следующим образом:
.
Введём новую переменную:
.
С учётом этой замены первоначальный интеграл примет вид:
.◄
2.6.9.
Найти интеграл:
■ Подынтегральная функция - нечётная относительно косинуса и тангенса.
Применим универсальную тригонометрическую подстановку:
С учётом подстановки первоначальный интеграл примет вид:
.◄